Question

El “cartel” de Lucia debe tener las siguientes medidas
“ El largo mide 14 cm más que el ancho y tiene como área 1632 cm2 “
Resueltos con Ecuaciones de Segundo Grado

Answer 1

El largo del cartel es de 48 centímetros y el ancho de 34 centímetros

Solución

Se desea hallar los lados de un cartel rectangular

Del cual conocemos su área y que su largo mide 14 centímetros más que su ancho

Hallaremos los valores de los lados a partir de su área

Recordemos que

Un rectángulo es un polígono con cuatro lados siendo éstos iguales dos a dos. Siendo sus cuatro ángulos interiores rectos, es decir de 90°.

Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su área es el producto de sus dos lados contiguos (a y b)

Pudiendo decir

$\large\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

Donde

Llamaremos variable x a su ancho,

$\large\textsf{Ancho = x }$

Y sabiendo que el largo del cartel mide 14 centímetros más que el ancho será (x+14)

$\large\textsf{Largo = (x + 14) }$

Conocemos el valor del área del cartel rectangular que es de 1632 cm²

$\large\textsf{\'Area = 1632 }\bold {cm^{2}}$

Estamos en condiciones de plantear una ecuación que satisfaga al problema

$\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

$\textsf{Quitamos unidades para facilitaci\'on }$

$\boxed {\bold { 1632= (x+14) \ . \ x }}$

$\boxed {\bold { (x+14) \ . \ x = 1632 }}$

$\boxed {\bold { x \ . \ x \ +\ 14x = 1632 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} \ + \ 14x = 1632 }}$

$\large\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 14x - 1632 = 0 }}$

$\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }$

La cual se puede resolver para x

a) Por factorización

$\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 14x - 1632 = 0 }}$

$\large\textsf{Considerando la forma: } \bold {ax^{2} + bx + c}$

$\large\textsf{Hallamos un par de enteros cuyo producto sea c y su suma sea b }$

$\large\textsf{Donde el producto es -1632 y la suma es 14 }$

Los números enteros son:

$\boxed{ \bold{ -34 , \ 48 }}$

$\large\textsf{Escribimos en forma factorizada empleando esos n\'umeros enteros }$

$\boxed{ \bold{(x -34 ) (x+48) = 0 }}$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a  0 , la expresión completa será igual a  0

Luego

$\boxed{ \bold{x -34 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = 34 }}$

$\boxed{ \bold{ x + 48 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = -48 }}$

La solución completa son los valores que hacen  a (x-34)(x+48) = 0 verdadero

$\large\boxed{ \bold{x = 34, - 48 }}$

b) Empleando la fórmula cuadrática

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b = 14 y c = -1632 }$

$\large\textsf{Para resolver para x }$    

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -14 \pm \sqrt{ 14^2 - 4\ . \ (1 \ . \ -1632) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -14 \pm \sqrt{196- 4\ . \ -1632 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -14 \pm \sqrt{196+ 6528 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -14 \pm \sqrt{6724 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -14 \pm \sqrt{82^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -14 \pm 82 }{2 } }}$

$\textsf{Simplificamos }$

$\boxed{ \bold{x =7 \pm 41 }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\large\boxed{ \bold{x = 34 , - 48 }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de x dado que es una medida de longitud }$

$\large\boxed{ \bold{x = 34 \ cm }}$

Nota: Se ha hallado el valor de la variable x por 2 métodos, en donde no es necesario que se resuelva el problema desarrollando ambos. Se han desarrollado los dos para que ustedes empleen cualquiera de ellos, o con el que se sientan más familiarizados :)

Luego

$\large\textsf{Ancho = x }$

$\large\textsf{Ancho = 34 cent\'imetros }$

$\large\textsf{Largo = (x + 14) }$

$\large\textsf{Largo = (34 + 14 ) = 48 cent\'imetros }$

Sabiendo que el área del cartel rectangular es de 1632 centímetros cuadrados

Luego el largo del cartel es de 48 centímetros y el ancho de 34 centímetros

Verificación

$\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

$\boxed{\bold { 1632 \ cm^{2} = 48 \ cm \ . \ 34 \ cm }}$

$\boxed{\bold { 1632 \ cm^{2} = 1632 \ cm^{2} }}$

Se cumple la igualdad