Question

Calcula las coordenadas de un vector u, que sea ortogonal a v=(1,2,3) y w=(1,-1,1) y tal que [[u,v,w]]=19

respuestas:
a) u=(5/2, 1, 3/2
b) u=(-5/2, 1, -3/2)
c) u=(5/2, 1, -3/2)

Answer 1

                       Vectores en R³

Los vectores a analizar cuando pidan las coordenadas de algún otro vector tal que dichos vectores sean perpendiculares (ortogonales) , se suele tomar el producto vectorial es decir VxW dado que este vector es perpendicular al plano que contiene al vector V y W.

Entonces

                                $V\mathrm{x}W=(1,2,3)\mathrm{x}(1,-1,1)$

poniéndolo de forma cartesiana

                                $V\mathrm{x}W=(i+2j+3k)\mathrm{x}(i-j+k)$

recordemos

                        $i\mathrm{x}i=\overline{0}\\ j\mathrm{x}j=\overline{0}\\ k\mathrm{x}k=\overline{0}$          $i\mathrm{x}j=k\\ j\mathrm{x}k=i\\k\mathrm{x}i=j$            $j\mathrm{x}i=-k\\ k\mathrm{x}j=-i\\i\mathrm{x}k=-j$

operamos aplicando la propiedad distributiva para los vectores

            $V\mathrm{x}W=(1,2,3)\mathrm{x}(1,-1,1)$$V\mathrm{x}W=i\mathrm{x}i-i\mathrm{x}j+i\mathrm{x}k+2j\mathrm{x}i-2j\mathrm{x}j+2j\mathrm{x}k+3k\mathrm{x}i-3k\mathrm{x}j+3k\mathrm{x}k$

            $V\mathrm{x}W=0-k-j+2(-k)-2(0)+2i+3j-3(-i)+3(0)$

             $V\mathrm{x}W=-3k+2j+5i$

             $V\mathrm{x}W=5i+2j-3k$

             $V\mathrm{x}W=(5,2,-3)$

el vector u puede ser expresado de la forma

             $u=|u|.(unitario)$

             $u= |u|.\cfrac{5i+2j-3k}{\sqrt{5^2+2^2+(-3)^2} } \\ \\ u=u|.\cfrac{5i+2j-3k}{\sqrt{38} }$

por dato el determinante de la matriz

|u,v,w|=19

                    $\left[\begin{array}{ccc}|u|.5.\frac{1}{\sqrt{38} } &|u|2\frac{1}{\sqrt{38} }&-3.|u|\frac{1}{\sqrt{38} }\\1&2&3\\1&-1&1\end{array}\right]$

por propiedad de los determinantes

                         $\cfrac{|u|}{\sqrt{38} }\left[\begin{array}{ccc}5&2&-3\\1&2&3\\1&-1&1\end{array}\right]$

operando

                   $\cfrac{|u|}{\sqrt{38} }.(10+6+3-(-6-15+2))=19$

                                                         $\cfrac{|u|}{\sqrt{38} }.(38) =19$

                                                                    $|u| =\cfrac{\sqrt{38} }{2}$

remplazando en u

                              $u=\cfrac{\sqrt{38} }{2}.\cfrac{(5i+2j-3k)}{\sqrt{38} }$

                              $u=\left(\cfrac{5}{2} ,1, \cfrac{-3}{2}\right)$

Un cordial saludo.