Los vertices de una elipse son (-5,0) y (5,0) y sus focos son (-3,0)y (3,0). Hallar su ecuación y la longitud de sus eje
Respuestas
Respuesta:
La ecuación de la elipse debe tener la forma
\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
debido a que tiene su centro en el origen. Además, tenemos que la elipse pasa por el punto (0, 4). De este modo, se debe satisfacer que
\displaystyle \frac{0^2}{a^2} + \frac{4^2}{b^2} = 1 \qquad \to \qquad \frac{4^2}{b^2} = 1
Si despejamos b^2, se tiene que b^2 = 4^2. Luego, debido a que b > 0, se sigue que,
b = 4
Además, en la fórmula de la excentricidad se debe cumplir que
\displaystyle \frac{3}{5} = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{a^2 - 16}}{a}
Si elevamos al cuadrado la ecuación, se sigue que
\displaystyle \frac{9}{25} = \frac{a^2 - 16}{a^2}
Multiplicamos la ecuación por a^2, y luego por 25 para obtener
\displaystyle 9a^2 = 25a^2 - 400
Al agrupar términos semejantes, se obtiene
16 a^2 = 400 \qquad \to \qquad a^2 = 25
Es decir, a = 5. Por lo tanto, la ecuación de la elipse es
\displaystyle \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1
Explicación paso a paso:
Respuesta:
eje mayor =50
eje menor =32
Explicación paso a paso: