• Analiza el problema planteado como modelo y propón una situación similar.
La gerente comercial de una empresa editorial de Alausí estima que si el precio de un libro
de Kichwa es de $20, vende 10 000 ejemplares. Por cada dólar que se incremente el
precio, las ventas disminuyen en 400 ejemplares. ¿Qué precio deberá fijarse a cada libro de
manera que el ingreso para la empresa por la venta de estos libros sea el máximo?, ¿cuál
es el monto de dicho ingreso?
Solución: Los ingresos se calculan multiplicando el precio por el número de ejemplares vendidos. L = 20 × 10 000, donde L es el ingreso.
Si x representa el número de dólares en que se incrementa el precio de cada ejemplar,
entonces 20 + x es el nuevo precio del libro y 10 000 – 4 000 x es el nuevo número de ejemplares vendidos. La función que representa el ingreso en términos del número de dólares en
que se aumenta el precio del libro es:
L (x) = (20 + x)(10 000 – 400x).
Esta función L(x) recibe el nombre de función objetivo porque es la función que se requiere
optimizar. La derivada de la función L(x) es:
L´(x) = (1)(10 000 – 400x) – 400(20 + x),
L´(x) = 10 000 – 400x – 8 000 – 400 x,
L´(x) = –8 00x + 2 000,
L´(x) = 0 800 x = 2 000, x = 2000 / 800; x =2,5
Recordemos que x representa el número de dólares en que se debe incrementar el precio
del libro para obtener el ingreso máximo. De esta manera, al incrementar el precio de venta
del libro en $2,5, se obtiene el ingreso máximo. Para calcular el ingreso máximo se sustituye
x en la función L(x).
L (2,5) = (20 + 2,5) [10 000 – 400(2,5)]
L (2,5) = (22,5) [10 000 – (1 000)
L (2,5) = $202.500,00
Respuestas
Modelo de Optimización y ejemplo de situación similar
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lamina de cartón de 20cm de largo y de 10cm de ancho. Para ello, se corta un cuadrado de lado L en cada esquina y se dobla la hoja levantando los cuatro laterales de la caja. Determinar: las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo si el lado L debe medir entre 2 y 3 cm
a : es el ancho de la caja,
h : es su altura
p : es su profundidad
El volumen de la caja es
V = a*h*p
p =10-2L
a = 20-2L
h= L
Luego el volumen de la caja en función de L
V(L) = (20-2L)(10-2L) L
V(L)= (200-40L-20L+4L²)L
V(L)= (200-60L+4L²)L
V(L) = 200L-60L²+4L³
Derivamos la función volumen
V(L)´= 200-120L+12L²
Igualamos a 0 la derivada y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos
0= 200-120L+12L²
L₁ = 7,89
L₂ = 2,12 Tomamos este valor porque L debe medir entre 2 y 3 cm