Question

10. Los vértices de un triángulo son (2, -1), (4,7). (8.
0). Hallar. para cada una de las medianas, el punto de
trisección más cercano al punto medio del lado
correspondiente. Demostrar que este punto es el mismo
para cada una de las medianas y, por tanto, que las
medianas concurren en un punto. Este punto se llama
baricentro del triángulo.

Answer 1

Respuesta:

El punto que concurre cada mediana tiene coordenadas $(14/3, 3)$

Explicación paso a paso:

Necesitarás sólo una fórmula: $x = \frac{x_{1} + rx_{2}}{1 + r}, y = \frac{y_{1} + ry_{2}}{r + 1}$.

Primero, debes hallar el punto medio para cada uno de los segmentos que unen a los vértices del triángulo, éstos son: A(2, -1), B(4, 7) y C(8, 0).

Coordenadas del punto medio A y B: $D(3, 3)$.

Coordenadas del punto medio A y C: $E(5, -1/2)$.

Coordenadas del punto medio B y C: $F(6, 7/2)$.

Por geometría elemental, se sabe que se define a la mediana como la recta que une el punto medio del lado opuesto a un vértice. En geometría analítica los segmentos son dirigidos, por lo que tienen dirección y signo, así que hay que saber elegir cuál será $x_{1}$ y $x_{2}$ en la formula de arriba; como el problema indica hallar el punto de trisección cercano al punto medio al lado correspondiente, entonces se tiene.

Coordenadas del punto de trisección de D a C: ($x = \frac{8 + 2(3)}{1 + 2}$, $y = \frac{0 + 2(3)}{1 + 2}$) => ($x = 14/3$, $y = 3$).

Coordenadas del punto de trisección de E a B: ($x = \frac{4 + 2(5)}{1 + 2}$, $y = \frac{7 - 2(\frac{1}{2})}{1 + 2}$) => ($x = 14/3$, $y = 3$).

Coordenadas del punto de trisección de F a A: ($x = \frac{2 + 2(6)}{1 + 2}$, $y = \frac{-1 + 2(\frac{7}{2})}{1 + 2}$) => ($x = 14/3$, $y = 3$).

El punto de trisección cercano al punto medio de cada lado correspondiente a los vértices son todos iguales, por lo tanto, cada mediana concurre en un punto en común, según el enunciado, llamado baricentro.