ESUELVA EL SIGUIENTE PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN. SE DESEA SEMBRAR TOMATE EN UN TERRENO RECTANGULAR QUE SE ENCUENTRA AL LADO DE UNA PARED. SE DESEA CERCAR LOS OTROS TRES LADOS,SE TIENEN 300 METROS DE CERCA. ENCUENTRA LAS DIMENSIONES DEL TERRENO (LARGO Y ANCHO) ASÍ COMO EL ÁREA MÁXIMA.
Respuestas
Respuesta:
E: Un terreno rectangular est´a delimitado por un r´ıo en un lado y por una cerca el´ectrica de un solo
cable en los otros tres lados.
¿Cu´ales son las dimensiones del terreno que nos dan el ´area m´axima?
¿Cu´al es la mayor ´area que pueda cercarse con un cable de 800 m?
D: H Veamos la figura siguiente
y y
x
r´ıo
El ´area del terreno:
A = xy.
El per´ımetro del terreno:
P = x + 2y = 800 m, seg´un los datos proporcionados.
De aqu´ı obtenemos:
x = 800 − 2y.
Sustituyendo en la f´ormula del ´area:
A(y) = (800 − 2y)y = 800y − 2y2
.
A(y) es la funci´on cuyo m´aximo deseamos calcular.
A0
(y) = 800 − 4y ;
A00(y) = −4 < 0.
La segunda derivada es negativa, el punto cr´ıtico ser´a un m´aximo
A0
(y)=0 ⇒ 800 − 4y = 0 ⇒ y = 800
4 = 200.
Para calcular la longitud del otro lado de terreno (la x), sustituimos:
x = 800 − 2(200) = 400 = 2y.
Por lo tanto, las dimensiones del terreno que nos dan el ´area m´axima son x = 400 & y = 200.
La mayor ´area que se puede cercar con estas condiciones es de A = 80 000 m2.