Question

Una caja abierta tiene un volumen de 64 pies cubicos.Encontrar las dimensiones que minimizan el área superficial.

Answer 1

Bueno, esta es mi solucion, solo que como no me respondiste el mensaje que te envie, mejor pondre la solucion aqui, porque ya me voy... , pero OJO:

LA SOLUCION ES CORRECTA SI Y SOLO SI LA BASE DE DICHA CAJA  ES CUADRADA


Si la base es cuadrada:

El lado de la basae de la caja, sera: x
La altura de la caja será: y

Entonces:

Con el volumen:

V = x²y = 64
     ⇒y = 64/x²

Con el area :

A t = 4xy + x²
At = 4 x (64/x²) + x²
At = 256x^{-1} + x²

Derivando por primera vez, con respecto a x , e igualamos a cero:

A' = - 256x^{-2} + 2x  = 0
          (2x³ - 256)/x² =0
             2x³ = 256
               ⇒x = 8∛2

Derivando por segunda vez y reemplazando x = 8∛2

⇒ A'' = 512x-³ + 2

A'' (x = 8∛2) = 512(8∛2)^{-3} + 2  = 5/2   >0  , por lo tanto: ∃ un minimo para x = 8∛2



Por lo tanto:

At = 256x^{-1} + x²
At = 256(8∛2)^{-1} + (8∛2)²
At = 80∛4 pies ²  ← Rpta