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Ilustre con un ejemplo el hecho de que un punto de inflexión no necesariamente se alcanza, aunque exista la derivada y f''=0.

Answer 1

Un ejemplo de una función donde la derivada segunda es cero pero no hay punto de inflexión es $y=\frac{x^4}{12}$

Explicación:

Para que las derivadas primera y segunda existan y la derivada segunda sea nula y sin embargo no haya punto de inflexión, es decir la función no cambie de concavidad, es necesario que la función no cambie de signo en ese punto, es decir, la derivada segunda sea tangente al eje 'x' en ese punto.

Un ejemplo sería una función cuya derivada segunda es $y''=x^2$, ya que tiene un cero en x=0 pero no cambia de signo, la derivada primera es:

$y'=\int\limits^{}_{} {x^2} \, dx=\frac{x^3}{3}+C$

Y para hallar la función principal volvemos a integrar esta función:

$y=\int\limits^{}_{} {\frac{x^3}{3}+C} \, dx=\frac{x^4}{12}+Cx+C_2$

Por ejemplo podemos tomar la función $y=\frac{x^4}{12}$  cuya derivada segunda es $x^2$ y si la graficamos vemos que pese a que la derivada segunda es 0 en x=0, no tiene ningún punto de inflexión.