Question

1.
a) Determinar la longitud del eje mayor y eje menor,la distancia focal,el lado recto y traza la gráfica de la ecuación de la elipse X2/16+Y2/9=1
2.
a)Determinar la longitud del eje mayor y eje menor, la distancia focal, el lado recto y traza la gráfica de la ecuación de la elipse.
(X-4)2 /36+(Y+1)2/25=1

Necesito la respuesta y el procedimiento porfavor. ​

Answer 1

1) Los elementos de la elipse son: eje mayor y menor 8 y 6 respectivamente, distancia focal: $2\sqrt{7}$ y lado recto $\frac{9}{2}$

2) Los elementos de la elipse son: eje mayor y menor 12 y 10 respectivamente,  distancia focal $2\sqrt{11}$ y lado recto $\frac{19}{3}$

Explicación paso a paso:

1) La longitud de los semiejes es la raíz cuadrada de cada uno de los denominadores, los denominadores son 16 y 9, por lo que las longitudes de los semiejes son:

$\sqrt{16}=4\\\sqrt{9}=3$

Entonces las longitudes de los ejes son 8 y 6. La semidistancia focal es, siendo a y b los semiejes:

$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$

Entonces la distancia focal es $2\sqrt{7}$

El lado recto es la longitud del segmento perpendicular al eje mayor que pasa por los focos. Como la elipse está centrada en el origen y es horizontal, tenemos que reemplazar 'x' por la semidistancia focal:

$\frac{c^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\\\\y=\sqrt{9(1-\frac{c^2}{16})}=3\sqrt{(1-\frac{7}{16})}=3\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{9}{4}$

Esto es la mitad de la longitud del lado recto, por lo que la longitud del lado recto es $\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$

2) Los semiejes mayor y menor de la elipse son:

$\sqrt{36}=6\\\sqrt{25}=5$

Por lo que los ejes mayor y menor de la elipse son 12 y 10 respectivamente.

La semi distancia focal es:

$c=\sqrt{6^2-5^2}=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}$

Por lo que la distancia focal es $2\sqrt{11}$

Como la elipse es horizontal, tenemos que reemplazar (x-4) por la semi distancia focal:

$\frac{(x-4)^2}{36}+\frac{(y+1)^2}{25}=1\\\\\frac{c^2}{36}+\frac{(y+1)^2}{25}=1\\\\y+1=\sqrt{25(1-\frac{c^2}{36})}=5\sqrt{(1-\frac{11}{36})}=5\sqrt{\frac{25}{36}}\\\\y=\frac{25}{6}-1=\frac{19}{6}$

Pero esa es la mitad del lado recto, por lo que la longitud del lado recto es $\frac{38}{6}=\frac{19}{3}$

En la imagen adjunta están las gráficas, en verde la del primer punto y en azul la del segundo punto.