Question

Determina el área bajo la curva de cada una de las siguientes funciones en los intervalos dados. Dibuja la gráfica y representa el área.
1. f(x)=-x^2+2x+3 en [-4,4]
2. f(x)=-x+5 en [2,8]

ayuda :ccc

Answer 1

                        Área bajo

                                    una curva

Su valor numero proviene de una integral definida en donde se encuentra definida la función por tanto solo quedaría evaluar la integral definida de dichas funciones

$\mathrm{Veamos:}$

                                            $f(x)=-x^2+2x+3$                                     $\mathrm{ Integrando \ en\ ambos\ lados} :::: \ A_{pedida}=\int\limits^4_{-4}-x^2+2x+3 \, dx$ $:::: \ A_{pedida}=\int\limits^0_{-4}-x^2+2x+3 \, dx+\int\limits^4_{0}-x^2+2x+3 \, dx$                                                               $:::: \ A_{pedida}=\int\limits^0_{-4}-x^2dx+2\int\limits^0_{-4}xdx+\int\limits^0_{-4}3dx +\int\limits^4_{0}-x^2dx+2\int\limits^4_{0}xdx+3\int\limits^4_{0}dx$    

$:::: \ A_{pedida}=\frac{-4^3}{3} -4^2+3(4) + \frac{-4^3}{3}+4^2+3(4)$

$:::: \ A_{pedida}=\frac{-2.4^3}{3} +24$

$:::: \ A_{pedida}=\frac{-128}{3} +24$

$:::: \ A_{pedida}=\frac{-56}{3}$

Significado

El signo negativo nos indica que el área neta esta orientado hacia no significa que el área sea negativa dado que no existe  

$\mathrm{Veamos:}$

                                             $f(x)=-x+5$

$\mathrm{ Integrando \ en\ ambos\ lados} :::: \ A_{pedida}=\int\limits^8_{2}x+5 \, dx$

$:::: \ A_{pedida}=\int\limits^8_{2}xdx+5 \int\limits^8_{2}dx$

$:::: \ A_{pedida}=-\frac{8^2-2^2}{2} +5 (8-2)$

$:::: \ A_{pedida}=-30 +30$

$:::: \ A_{pedida}=0$

Significado

Significa que la Área neta es cero es decir lo que están encima y debajo del eje de abscisas

Un cordial saludo.