Question

Calcular los máximos y mínimos de la siguiente función:

Answer 1

              Máximos y Mínimos

                                  de una Función

Para  reconocer si el máximo o mínimo de una función es hallando su primera derivada dado que utilizando esta nos permitirá encontrar el valor máximo o mínimo  además para asegurar que dicho valor es un máximo o un mínimo global se debe tomar la segunda derivada , si esta tiene signo positivo sera un mínimo global o local dependiendo de las condiciones del problema  si es negativo tomara un máximo global o local.

o en otras palabras lo que vamos a analizar es la concavidad de la función.

$\mathrm{Veamos}$

                                         $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$

$\mathrm{Tomando \ la \ derivada }::::\cfrac{df(x)}{dx}=12x^3-12x^2-24x$

obs: $\frac{d}{dx} x^n=nx^{n-1}$ ; n∈N

$\mathrm{Igualando \ a \ cero \ derivada }::::0=12x^3-12x^2-24x$

                                        $::::x(x^2-x-2)=0$

                                        $::::x(x-2)(x+1)=0$

entonces tenemos los puntos críticos en cual podemos saber gracias a la segunda derivada quienes de ellos son máximos o mínimos pueden ser locales o globales

los puntos críticos son:

$x=0 \ \ \ x=2\ \ \ x=-1$

averigüemos la segunda derivada

$\mathrm{Tomando \ la \ derivada \ f'(x) }::::\cfrac{d^2f(x)}{dx^2}=36x^2-24x-24$

                                          $::::12(3x^2-2x-2)$

evaluando los puntos críticos en la segunda derivada

$f''(x=0)=12(-2)=-24<0$

$f''(x=2)=72>0$

$f''(x=-1)=12(3)=36>0$

con los análisis podemos afirmar que

en

$x=2 \ la \ funcion \ f(x)\ tiene \ un \ minimo\ global$

$x=0 \ tiene \ un \ maximo \ local$

$x=-1 \ tiene \ un \ minimo\ local$

Un cordial saludo.