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Respuesta:
1. Estudiar si las siguientes aplicaciones son lineales:
a) f : R
2 → R
3
, f(x, y) = (x + y, y, x − 2y). Sí es lineal.
b) f : R
2 → R, f(x, y) = xy. No es lineal. Basta observar que
f(2(1, 1)) = f(2, 2) = 4, que es distinto de 2f(1, 1) = 2.
c) f : R
2 → R
3
, f(x, y) = (x + 1, 2y, x + y). No es lineal. Basta
observar que f(0, 0) 6= (0, 0, 0).
d) f : R
3 → R
2
, f(x, y, z) = (z, y + x). Sí es lineal.
e) f : R
2 → R, f(x, y) = |x − y|. No es lineal. Basta observar que
f(−1(1, 0)) = 1 es distinto de −f(1, 0) = −1.
f) f : R
3 → R2[t], f(x, y, z) = (y + z)t
2 + (x + y)t + z. Sí es lineal.
g) f : Mn×n(R) → Mn×n(R), f(A) = AT
. Sí es lineal. Se tiene
que f((A + B)) = (A + B)
T = AT + BT = f(A) + f(B) y
f(λA) = (λA)
T = λAT = λf(A).
Los resultados no probados se dejan como tarea para el alumno.
2. Dadas f y g de R
3
en R
3
, f(x1, x2, x3) = (x1, x2, x1 + x2 − x3) y
g(x1, x2, x3) = (2x1, x2 −1, x3), ver si son lineales y, en ese caso, hallar
el núcleo y la imagen.
La aplicación f es lineal. La comprobación se deja como ejercicio para
el alumno. La aplicación g no es lineal (g(0, 0, 0) 6= (0, 0, 0)).
Ker(f) = {x¯ ∈ R
3
: f(¯x) = ¯0} =
= {(x1, x2, x3) : x1 = 0, x2 = 0, x1 + x2 − x3 = 0}
Dicho de otro modo, Ker(f) es el subespacio vectorial de R
3 de ecuaciones cartesianas
Ker(f) ≡
x1 = 0
x2 = 0
x1 + x2 − x3 = 0
Al resolver, resulta Ker(f) = {(0, 0, 0)}. Por otro lado, Im(f) =
L(f(B)), siendo B cualquier base del espacio de partida R
3
, por ejemplo la base canónica. Así:
Im(f) = L(f(1, 0, 0), f(0, 1, 0), f(0, 0, 1)) =
= L((1, 0, 1),(0, 1, 1),(0, 0, −1)) = R
Explicación paso a paso: