Question

halla la ecuacion de la mediatriz del segmento que tiene como extremos los puntos de corte de la recta 3x+4y-12 =0 con los ejes de coordenadas

Answer 1

El primer paso es conocer los puntos de corte de la recta con los ejes:
·Corte con el eje x (y=0)
$3x+4y=12 \\ 3x=12 \\ x=4$
El primer punto de corte es A(4,0)

·Corte con el eje y (x=0)
$3x+4y=12 \\ 4y=12 \\ y=3$
El segundo punto de corte es B(0,3)

Una vez conocidos los extremos del segmento, debemos conocer su punto medio:
$M= \frac{( A_{x}+b_{x},A_{y}+b_{y})}{2} =\frac{( 4+0,0+3)}{2}=\frac{( 4,3)}{2} \\ \\ M=(2, \frac{3}{2} )$

El punto del segmento por el que pasa su mediatriz es M(2,3/2).

Una vez conocido el punto por el que pasa la recta y sabiendo que una mediatriz es perpendicular al segmento:

$m_{m} = -\frac{1}{ m_{r} } =-\frac{1}{ \frac{-3}{4} } = \frac{4}{3} \\ \\ m_{m} = \frac{4}{3}$

Ahora que ya conocemos la pendiente de la mediatriz y un punto por el que pasa:

$y=mx+n \\ \frac{3}{2} = \frac{4}{3} *2+n \\ \\ n= \frac{3}{2} -\frac{8}{3} =\frac{9}{6} -\frac{16}{6} = -\frac{17}{6}$

Así que, la ecuación de la mediatriz es:
$y= \frac{4}{3}x-\frac{17}{6}$