Question

7 Una tripulación rema 28 km en 1 3/4 horas río abajo y 24 km en 3 horas río arriba.
a.- Obtener el modelo matemático
b.- Hallar la velocidad del bote en aguas tranquilas y la velocidad del río.​

Answer 1

La velocidad del bote es de 12 km/h

La velocidad del río es de 4 km/h

Se trata de un problema de Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) donde las variables que intervienen son distancia, velocidad y tiempo.

Se caracteriza porque el móvil realiza un movimiento donde se desplaza a velocidad constante y en línea recta y la aceleración es nula

La trayectoria del móvil es una línea recta y en tiempos iguales se recorren distancias iguales

En el problema propuesto tenemos dos intervalos para la velocidad de la tripulación: el intervalo aguas abajo, y el intervalo aguas arriba

En donde en cada intervalo la tripulación se desplazará a una velocidad diferente.

En el intervalo aguas abajo la velocidad con que la tripulación se desplaza está dada por la suma de la velocidad del barco y la velocidad de la corriente del río.

Por tanto la velocidad del desplazamiento del bote se reduce a una suma de sus magnitudes ya que estas van en la misma dirección y sentido

Es decir la velocidad del bote no depende sólo de su propio impulso sino de también de la velocidad del río

Calculamos la velocidad para el viaje río abajo

Por la ecuación de MRU

Donde

$\large\boxed{\bold { Velocidad = \frac{Distancia }{Tiempo} }}$

$\large\boxed{\bold { Velocidad_{RIO \ ABAJO} = \frac{Distancia_{RIO \ ABAJO} }{Tiempo_{RIO \ ABAJO}} }}$

Donde la velocidad río abajo está dada por

$\large\boxed{\bold { Velocidad_{BOTE} + Velocidad_{RIO } }}$      $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed{\bold { Velocidad_{RIO \ ABAJO} = \frac{Distancia_{RIO \ ABAJO} }{Tiempo_{RIO \ ABAJO}} }}$

$\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed{\bold { Velocidad_{RIO \ ABAJO} = \frac{28 \ km }{ 1\frac{3}{4} \ h} }}$

$\boxed{\bold { Velocidad_{RIO \ ABAJO} = \frac{28 \ km }{ \frac{7}{4} \ h} }}$

$\boxed{\bold { Velocidad_{RIO \ ABAJO} = \frac{28 \ km \ . \ 4 }{ 7 \ h} }}$

$\large\boxed{\bold { Velocidad_{RIO \ ABAJO} = 16 \ km/h }}$

Teniendo

$\large\boxed{\bold { Velocidad_{BOTE} + Velocidad_{RIO } = 16 \ km/h }}$      $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

En el intervalo aguas arriba de igual manera, la velocidad resultante será la suma de la velocidad del bote y la velocidad de la corriente del río-

La que se reduce a una resta de sus magnitudes ya que apuntan en la misma dirección pero en sentidos opuestos.

Dicho de otro modo se produce la situación inversa a la trayectoria aguas arriba del bote.

Reiterando que al no depender la velocidad del bote de su impulso propio en el viaje aguas arriba el bote se está desplazando en contra de la corriente del río, por tanto al ir aguas arriba la corriente del río “retrasa” la trayectoria del bote, no lo favorece, por tanto ambas magnitudes se restan.

Calculamos la velocidad para el viaje río arriba

Por la ecuación de MRU

Donde

$\large\boxed{\bold { Velocidad = \frac{Distancia }{Tiempo} }}$

$\large\boxed{\bold { Velocidad_{RIO \ ARRIBA} = \frac{Distancia_{RIO \ ARRIBA} }{Tiempo_{RIO \ ARRIBA}} }}$

Donde la velocidad río arriba está dada por

$\large\boxed{\bold { Velocidad_{BOTE} - Velocidad_{RIO } }}$      $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed{\bold { Velocidad_{RIO \ ARRIBA} = \frac{Distancia_{RIO \ ARRIBA} }{Tiempo_{RIO \ ARRIBA}} }}$

$\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed{\bold { Velocidad_{RIO \ ARRIBA} = \frac{24 \ km }{ 3\ h} }}$

$\large\boxed{\bold { Velocidad_{RIO \ ARRIBA} = 8 \ km/h }}$

Teniendo

$\large\boxed{\bold { Velocidad_{BOTE} - Velocidad_{RIO } = 8 \ km/h }}$      $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Calculamos la velocidad del bote

Tomamos la Ecuación 1 y la Ecuación 2

$\boxed{\bold { Velocidad_{BOTE} + Velocidad_{RIO } = 16 \ km/h }}$     $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed{\bold { Velocidad_{BOTE} - Velocidad_{RIO } = 8 \ km/h }}$        $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Sumando las 2 ecuaciones se obtiene:

$\boxed{\bold { 2\ Velocidad_{BOTE} = 24 \ km/h }}$

$\large\textsf{Despejamos la velocidad del bote }$

$\boxed{\bold { Velocidad_{BOTE} = \frac{ 24 \ km/h }{2} }}$

$\large\boxed{\bold { Velocidad_{BOTE} = 12 \ km/h }}$

La velocidad del bote es de 12 km/h

Calculamos la velocidad del río

$\large\textsf{ En Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed{\bold { Velocidad_{BOTE} + Velocidad_{RIO } = 16 \ km/h }}$

Reemplazamos el valor hallado para la velocidad del bote

$\boxed{\bold { Velocidad_{BOTE} = 12 \ km/h }}$     $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\boxed{\bold { Velocidad_{RIO } = 16 \ km/h-Velocidad_{BOTE} }}$

$\boxed{\bold { Velocidad_{RIO } = 16 \ km/h- 12 \ km/h }}$

$\large\boxed{\bold { Velocidad_{RIO } = 4 \ km/h }}$

La velocidad del río es de 4 km/h