Respuestas
Respuesta:
A max = 81 m²
Explicación paso a paso:
- Para resolver el problema de optimización usaremos las derivadas.
Tenemos dos condiciones:
P = 2x + 2y = 36
y = 18 - x.............(I).
A = x · y..........(II)
- Sustituimos la condición I en la condición II, tenemos:
∴ A = x · (18 - x)
A = 18x - x²
- Derivamos la expresión de área respecto a la variable "x" para que el area se máxima igualamos a cero.
∴ dA/dx = 18 - 2x
∴ 18 - 2x = 0
∴ 2x = 18
∴x = 18/2
∴ x = 9
- Calculamos el valor de "y", entonces:
y = 18 - 9 = 9
Por tanto para que el area sea maxima el rectangulo debe ser un cuadrado debe tener las dimensiones de 9 m de largo y 9 m ancho.
Area maxima = (9 m)²
Area maxima = 81 m²
Las dimensiones del rectángulo que permiten que su área máxima son:
Largo = ancho = 9 m
¿Cuál es el área y perímetro de un rectángulo?
Un rectángulo es un polígono de cuatro lados, con la característica que sus lados opuestos son iguales.
El área de un rectángulo es el producto de sus dimensiones o lados.
A = largo × ancho
El perímetro de un rectángulo es la suma de todos sus lados.
P = 2 largo + 2 ancho
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
¿Cuáles son las dimensiones que permiten un área máxima del rectángulo?
Definir:
- x: ancho
- y: largo
Siendo:
P = 36 m
Sustituir;
36 = 2x + 2y
Despejar x;
x + y = 36/2
x = 18 - y
Sustituir en A;
A = (y)(18 - y)
A = 18y - y²
Aplicar primera derivada;
A' = d/dy (18 - y²)
A' = 18 - 2y
Aplicar segunda derivada;
A'' = d/dy (18 - 2y)
A'' = -2 (Máximo relativo)
Igualar a cero A':
18 - 2y = 0
y = 18/2
y = 9 m
Sustituir;
x = 18 - 9
x = 9 m
Puedes ver más sobre optimización aquí:
https://brainly.lat/tarea/13504125
#SPJ2
