Question

Calcular el volumen del solido de revolución de la región limitada por las curvas: y = 1 / (x² + 1) ; Eje de las abscisas y alrededor del eje X

Answer 1

El volumen del sólido de revolución es de $\frac{\pi}{2}$

Explicación paso a paso:

Para hallar el volumen del sólido de revolución alrededor del eje 'x' podemos considerar al mismo dividido en cilindros infinitesimales de volumen:

$dV=\pi.(y)^2.dx$

Entonces la integral entre menos infinito e infinito para hallar el volumen del sólido queda:

$V=\pi.\int\limits^{\infty}_{-\infty} {\frac{1}{(x^2+1)^2}} \, dx$

En esta ecuación hacemos la siguiente sustitución para poder resolverla:

$x=tan(u)=\frac{sen(u)}{cos(u)}\\\\\\dx=\frac{du}{cos^2(x)}$

Y queda la integral:

$V=\pi.\int\limits^{\infty}_{-\infty} {\frac{1}{((\frac{sen(u)}{cos(u)})^2+1)^2}} \, \frac{du}{cos^2(u)}\\\\V=\pi.\int\limits^{\infty}_{-\infty} {\frac{1}{(\frac{sen^2(u)+cos^2(u)}{cos^2(u)})^2}} \, \frac{du}{cos^2(u)}\\\\V=\pi.\int\limits^{\infty}_{-\infty} {\frac{1}{(\frac{1}{cos^2(u)})^2}} \, \frac{du}{cos^2(u)}.$

Resolviendo el cuadrado queda:

$V=\pi.\int\limits^{\infty}_{-\infty} {cos^2(u)} \, du=\pi.\int\limits^{\infty}_{-\infty} {\frac{1+cos(2u)}{2}} \, du=[\frac{u}{2}+\frac{sen(2u)}{4}]_{-\infty}^{\infty}\\\\V=[\frac{tan^{-1}(x)}{2}+\frac{sen(2.tan^{-1}(x))}{4}]_{-\infty}^{\infty}\\\\V=[\frac{tan^{-1}(x)}{2}+\frac{2sen(tan^{-1}(x)).cos(tan^{-1}(x))}{4}]_{-\infty}^{\infty}\\\\V=[\frac{tan^{-1}(x)}{2}+\frac{x.1}{2\sqrt{x^2+1}.\sqrt{x^2+1}}]_{-\infty}^{\infty}\\\\V=[\frac{tan^{-1}(x)}{2}+\frac{x.1}{2(x^2+1)}]_{-\infty}^{\infty}$

Al ser la integral indefinida queda:

$V= \lim_{x \to \infty} (\frac{tan^{-1}(x)}{2}+\frac{x}{2(x^2+1)})-\lim_{x \to -\infty} (\frac{tan^{-1}(x)}{2}+\frac{x}{2(x^2+1)})\\\\V=\frac{\pi}{4}-(-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}$

En la imagen adjunta está el perfil del sólido de revolución.