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Respuesta:
Considérese la función f(x) = x2 +1. Encontrar su dominio y rango.
Los valores de la función se obtienen sustituyendo la x en esta ecuación. Por ejemplo,
f(-1) = (-1)2 + 1 = 1 + 1 = 2, f(2) = (2)2 + 1 = 4 + 1 = 5.
Evaluando la función en distintos valores obtenemos la siguiente tabla y diagrama.
x
f(x) = x2 + 1
3
10
2
5
1
2
0
1
-1
2
-2
5
-3
10
De aquí observamos que el dominio de la función son todos los números reales, ya que para cada valor de x real su imagen es siempre un número real. En cambio el rango es el intervalo [1, +∞). Ya que nunca vamos a obtener para un número real x un valor menor de 1.
Problema. 16.
Si se define una función f como: f(x) = x2 + 1 con -3 £ x £ 3.
Entonces el dominio de f está dado como el intervalo cerrado [-3, 3]. Observa que la expresión algebraica es la misma que la del ejemplo anterior, solo que en este caso, se está limitando el dominio de la función a los valores de x comprendidos entre -3 y 3. El rango de g es el intervalo [1, 10] (ver el diagrama de la figura anterior).
Problema. 17.
Encontrar el dominio y el rango de la función f(x) = x2 + 4.
Solución: El dominio de f son todos los reales (-∞, +∞), puesto que x2 + 4 es un numero real para todo número real x. Puesto que x2 ≥ 0, para todo x, entonces x2 + 4≥ 4, de lo anterior deducimos que f(x) ≥ 4. Por lo tanto, cualquier número ≥ 4 es la imagen de al menos una x del dominio. Por ejemplo, para encontrar una x tal que f(x) = 7, resolvemos la ecuación 7 = x2 + 4 para x y obtenemos . En general, para cualquier k≥4, al hacer f(x) = k , obtenemos k = x2 + 4 y eso nos da las soluciones . Esto prueba que el rango de la función es el conjunto de todos los números ≥4. Es decir el intervalo [4, +∞).
Explicación paso a paso:
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