Question

La diferencia de dos números naturales es 9 y la suma de sus cuadrados es 305. ¿Cuáles son esos números?

Answer 1

Respuesta:

7 y 16

Explicación paso a paso:

llamaremos "a y b" a los números desconocidos y planteamos las ecuaciones:

$a - b = 9 \\ {a}^{2} + {b}^{2} = 305$

despejamos "a" en la primera ecuación:

$a - b = 9 \\ a = 9 + b$

remplazamos el valor de "a" en la segunda ecuación:

${a}^{2} + {b}^{2} = 305 \\ {(9 + b)}^{2} + {b}^{2} = 305$

resolvemos el paréntesis al cuadrado

${9}^{2} + 2 \times 9 \times b + {b}^{2} \: \: + {b}^{2} = 305 \\ 81 + 18b + {b}^{2} + {b}^{2} = 305 \\ 81 + 18b + 2 {b}^{2} = 305$

ordenamos e igualamos a cero

$2 {b}^{2} + 18b + 81 - 305 = 0 \\ 2 {b }^{2} + 18b - 224 = 0$

como es una función cuadrática resolvemos aplicando formula:

$x = \frac{ - b \frac{ + }{ - } \sqrt{ {b}^{2} - 4ac} }{2a}$

teniendo en cuenta:

a = 2

b = 18

c = - 224

remplazamos valores en la fórmula y resolvemos.

$x = \frac{ - 18 \frac{ + }{ - } \sqrt{ { - 18}^{2} - 4 \times 2( - 224)} }{2 \times 2} \\ \\ x = \frac{ - 18 \frac{ + }{ - } \sqrt{324 + 1792} }{4} \\ \\ x = \frac{ - 18 \frac{ + }{ - } \sqrt{2116} }{4} \\ \\ x = \frac{ - 18 \frac{ + }{ - } 46}{4}$

resolvemos las dos posibles soluciones

$x = \frac{ - 18 + 46}{4} = \frac{28}{4} = 7 \\ \\ x = \frac{ - 18 - 46}{4} = \frac{ - 64}{4} = - 16$

comprobamos teniendo en cuenta que que el 16 será positivo ya que estamos buscando valores:

$a - b = 9 \\ 16 - 7 = 9 \\ 9 = 9$

${a}^{2} + {b}^{2} = 305 \\ {16}^{2} + {7}^{2} = 305 \\ 256 + 49 = 305 \\ 305 = 305$