Question

Una página rectangular ha de contener 36 cm2 de impresion; los márgenes
superior e inferior de la pagina tiene una anchura de 1.50 cm;los margenes
laterales tienen un ancho de 10cm; cuales deberán ser las dimensiones de la
pagina de tal manera que la cantidad de papel a utilizarse
sear minima?​

Answer 1

Las dimensiones que debe tener la página de papel para minimizar la cantidad de papel que se usará son:   6 + 3 = 9  cm   de base horizontal y   6 + 20 = 26  cm  de longitud vertical.  

Explicación paso a paso:

Tenemos una página de papel con márgenes superior e inferior 1.5 cm y márgenes izquierdo y derecho de 10 cm cada uno.  

La función objetivo es el perímetro del papel. Si llamamos    h    la longitud del lado vertical del área de impresión y    x    la longitud del lado horizontal del área de impresión; la función objetivo viene dada por:  

Perímetro  =  P  =  2(x  +  3)  +  2(h  +  20)  cm  

Lo conveniente es que   P   esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos el área de impresión (ecuación auxiliar) para despejar   h   en función de   x:  

$\bold{A~=~xh~=~36\qquad \Rightarrow\qquad h~=~\dfrac{36}{x}}$

por tanto la función objetivo es  

$\bold{P~=~2(x~+~3)~+2(\frac{36}{x}~+~20)~~=~~2x~+~\frac{72}{x}~+~46}$

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de P.  

$P'~=~2-\frac{72}{x^{2}}$

$P'=0 \quad \Rightarrow \quad 2-\frac{72}{x^{2}}=0\quad \Rightarrow\quad\bold{x~=~6}$

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

$P''~=~\dfrac{144}{x^{3}}$

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

$\bold{P''_{6}~=~\dfrac{144}{x^{3}}~>~0\quad \Rightarrow \quad x~=~6}$

es un mínimo de la función P.  

Sustituimos el valor de x en la ecuación de cálculo de h:  

$\bold{h~=~\dfrac{36}{6}\qquad \Rightarrow\qquad h~=~6}$

Las dimensiones que debe tener la página de papel para minimizar la cantidad de papel que se usará son:   6 + 3 = 9  cm   de base horizontal y   6 + 20 = 26  cm  de longitud vertical.

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Una página rectangular ha de contener 36 cm? de impresión; los márgenes superior e inferior de la página tiene una anchura de 1.50 cm: las márgenes laterales fienen un ancho de 1.0 cm; ¿Cuáles deberán ser las dimensiones de la página de tal manera que la cantidad de papel a utilizarse sea mínima?