Question

1. La diagonal de una mesa que tiene forma rectangular es 8 metros mayor que la longitud y
esta, a su vez, un metro mayor de anchura. Determina las dimensiones de la mesa rectangular,​
PORFAAA

Answer 1

Las dimensiones de la mesa rectangular son de 20 metros para el ancho, de 21 metros para el largo o longitud y de 29 metros para su diagonal

Solución

La mesa del ejercicio es un rectángulo, en donde si trazamos su diagonal esta queda dividida en dos triángulos rectángulos congruentes

En donde el ancho y el largo de la mesa serían los catetos, y la diagonal la hipotenusa del triángulo rectángulo.

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} = hipotenusa^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2} = \ c^{2} }}$

Donde según lo que dice el enunciado podemos decir

Llamaremos variable x a su ancho,

$\large\textsf{Ancho = x }$    

y sabiendo que el largo es 1 metro 3 mayor que el ancho será (x+1)

$\large\textsf{Largo = (x + 1) }$

y sabiendo que la diagonal de la mesa es 8 metros mayor que la longitud será (x+1) + 8 = x + 1 + 8 = x + 9

$\large\textsf{Diagonal = (x + 9) }$

Aplicando teorema de Pitágoras

$\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2} = \ c^{2} }}$

Podemos reescribir

$\boxed {\bold { x^{2} + (x+1)^{2} = (x+9)^{2} }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + (x+1)^{2} = (x+9) (x+9) }}$          

Expandimos (x+9) (x+9)      

$\boxed {\bold { x^{2} + (x+1)^{2} = x^{2} + 9x + 9x +81 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + (x+1)^{2} = x^{2} + 18x +81 }}$

Ordenamos los términos                                

$\boxed {\bold { x^{2} + (x+1)^{2} -x^{2} = 18x +81 }}$

$\boxed {\bold { (x+1)^{2} = 18x +81 }}$

Expandimos (x+1) (x+1)

$\boxed {\bold { x^{2}+ 1x +1x+1 = 18x +81 }}$

$\boxed {\bold { x^{2}+ 2x +1 = 18x +81 }}$

Ordenamos los términos e igualamos a 0

$\boxed {\bold { x^{2}+ 2x +1 - 18x -81 = 0 }}$

$\large\boxed {\bold { x^{2} - 16x -80 = 0 }}$

$\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }$

La cual se puede resolver para x

a) Por factorización

$\boxed {\bold { x^{2} \ - \ 16x - \ 80 = 0 }}$

$\large\textsf{Considerando la forma: } \bold {ax^{2} + bx + c}$

$\large\textsf{Hallamos un par de enteros cuyo producto sea c y su suma sea b }$

$\large\textsf{Donde el producto es -80 y la suma es -16 }$

Los números enteros son:

$\boxed{ \bold{ -20 , \ 4 }}$

$\large\textsf{Escribimos en forma factorizada empleando esos n\'umeros enteros }$

$\boxed{ \bold{(x -20 ) (x+4) = 0 }}$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a 0, la expresión completa será igual a  0

Luego

$\boxed{ \bold{x -20 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = 20 }}$

$\boxed{ \bold{x + 4 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = -4 }}$

La solución completa son los valores que hacen  a (x-20)(x+4) = 0 verdadero

$\large\boxed{ \bold{x = 20, - 4 }}$

b) Empleando la fórmula cuadrática

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b =-16 y c = -80 }$

$\large\textsf{Para resolver para x }$    

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 16 \pm \sqrt{ (-16)^2 - 4\ . \ (1 \ . \ -80) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 16 \pm \sqrt{ 256 - \ 4\ . \ -80 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 16 \pm \sqrt{ 256 +320 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 16 \pm \sqrt{ 576 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 16 \pm \sqrt{ 24^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{16 \pm 24 }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = 8 \pm12 }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\large\boxed{ \bold{x = 20, - 4 }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de x dado que es una medida de longitud }$

$\large\boxed{ \bold{x = 20 }}$

Nota: Se ha hallado el valor de la variable x por 2 métodos, en donde no es necesario que se resuelva el problema desarrollando ambos. Se han desarrollado los dos para que ustedes empleen cualquiera de ellos, o con el que se sientan más familiarizados :)

Luego

$\large\textsf{Ancho = x }$

$\large\textsf{Ancho = 20 metros }$

$\large\textsf{Largo = (x + 1) }$

$\large\textsf{Largo = (20 + 1) = 21 metros}$

$\large\textsf{Diagonal = (x + 9) }$

$\large\textsf{Diagonal = (20 + 9) = 29 metros }$