Question

se conocen valores aproximados con siete cifras de precision
In(2)=0,693 1472 2 In(3)=1,098 612 3,
In(11)=2,397 879 5
calcula el valor aproximado de x que se define en cada caso y verifica su resultado

Answer 1

El enunciado aporta valores aproximados de logaritmos naturales para usarlos junto con las propiedades de los logaritmos.

Explicación paso a paso:

El enunciado aporta valores aproximados de logaritmos naturales para usarlos junto con las propiedades de los logaritmos:

ln(2)  ≅  0,6931472

ln(3)  ≅  1,0986123

ln(7)  ≅  1,9459101

ln(11)  ≅  2,3978795

a)    x  =  log₇(3/8)

x  =  ln(3/8)  =  ln(3)  -  3×ln(2)  ≅  (1,0986123)  -  3×(0,6931472)  ≅  -0,9808293

b)    x  =  log₃(11³/2⁵)  

x  =  log₃(11³/2⁵)  =  3×ln(11)  -  5×ln(2)  ≅  3×(2,3978795)  -  5×(0,6931472)  ≅  3,7279025

c)    x  =  log₁₀(2⁷×7⁵×11²/3⁶)

x  =  log₁₀(2⁷×7⁵×11²/3⁶)  =  7×ln(2)  +  5×ln(7)  +  2×ln(11)  -  6×ln(3)         ⇒

x  ≅  7×(0,6931472)  +  5×(1,9459101)  +  2×(2,3978795)  -  6×(1,0986123)     ⇒

x  ≅  12,7856661

Answer 2

1. A partir de los valores aproximados indicados, si $x = log_7(\frac{3}{8})$, entonces considerando siete cifras significativas, x es - 0,5040466.

Para obtener el valor aproximado de x debemos aplicar las propiedades del logaritmo, tal como se indica a continuación:

$x = log_7(\frac{3}{8}) = log_7(3)-log_7(8)=log_7(3)-log_7(2^3)=log_7(3)-3*log_7(2)$

Sabemos que:

In(2) = 0,6931472

In(3) = 1,0986122

ln(7) = 1,9459101

ln(11) = 2,3978953

Debemos llevar estos valores a base 7, tal como se indica:

$log_a(x)=\frac{log_b(x)}{log_b(a)}$

Entonces:

$log_7(2)=\frac{ln(2)}{ln(7)}=\frac{0,6931472}{1,9459101}=0,3562072$

$log_7(3)=\frac{ln(3)}{ln(7)}=\frac{1,0986122}{1,9459101}=0,5645750$

Reemplazando:

$x = 0,564575-3*0,3562072 = 0,564575-1,0686216 = - 0,5040466$

2. Para comprobar si el valor obtenido de x es el correcto debemos reemplazar en la ecuación y resolver utilizando las propiedades de la potenciación, tal como se muestra a continuación:

x = - 0,5040466

$- 0,5040466 = log_7(\frac{3}{8})$

$7^{ - 0,5040466}=\frac{3}{8}$

$8*7^{ - 0,5040466}=3$

$8*0,3749999=3$

$2,9999996 \approx 3$

Como se obtienen los mismos resultados a ambos lados de la igualdad queda demostrado que x = - 0,5040466

3. A partir de los valores aproximados indicados, si $x = log_3(\frac{11^3}{2^5})$, entonces considerando siete cifras significativas, x es 3,3933265.

Para obtener el valor aproximado de x debemos aplicar las propiedades del logaritmo, tal como se indica a continuación:

$x = log_3(\frac{11^3}{2^5}) = log_3(11^3)-log_3(2^5)=3*log_3(11)-5*log_3(2)$

Sabemos que:

In(2) = 0,6931472

In(3) = 1,0986122

ln(7) = 1,9459101

ln(11) = 2,3978953

Debemos llevar estos valores a base 3, tal como se indica:

$log_a(x)=\frac{log_b(x)}{log_b(a)}$

Entonces:

$log_3(11)=\frac{ln(11)}{ln(3)}=\frac{2,3978953}{1,0986122}=2,1826585$

$log_3(2)=\frac{ln(2)}{ln(3)}=\frac{0,6931472}{1,0986122}=0,6309298$

Reemplazando:

$x = 3*2,1826585-5*0,6309298=6,5479756-3,1546491 = 3,3933265$

4. Para comprobar si el valor obtenido de x es el correcto debemos reemplazar en la ecuación y resolver utilizando las propiedades de la potenciación, tal como se muestra a continuación:

x = 3,3933265

$3,3933265 = log_3(\frac{11^3}{2^5})$

$3^{3,3933265} = \frac{11^3}{2^5}$

$2^5*3^{3,3933265} = 11^3$

$32*415937615 = 1331$

$1331,0003684 \approx 1331$

Como se obtienen los mismos resultados a ambos lados de la igualdad queda demostrado que x = 3,3933265

5. A partir de los valores aproximados indicados, si $x = log_{10}(\frac{2^7*7^5*11^2}{3^6} )$, entonces considerando siete cifras significativas, x es 5,5527582.

Para obtener el valor aproximado de x debemos aplicar las propiedades del logaritmo, tal como se indica a continuación:

$x = log_{10}(\frac{2^7*7^5*11^2}{3^6} )=log(2^7*7^5*11^2)-log(3^6)=log(2^7)+log(7^5)+log(11^2)-log(3^6)=7*log(2)+5*log(7)+2*log(11)-6*log(3)$

Sabemos que:

In(2) = 0,6931472

In(3) = 1,0986122

ln(7) = 1,9459101

ln(11) = 2,3978953

ln(10) = 2,3025851

Debemos llevar estos valores a base 3, tal como se indica:

$log_a(x)=\frac{log_b(x)}{log_b(a)}$

Entonces:

$log(11)=\frac{ln(11)}{ln(10)}=\frac{2,3978953}{2,3025851}=1,0413927$

$log(2)=\frac{ln(2)}{ln(10)}=\frac{0,6931472}{2,3025851}=0,3010300$

$log(3)=\frac{ln(3)}{ln(10)}=\frac{1,0986122}{2,3025851}=0,4771212$

$log(7)=\frac{ln(7)}{ln(10)}=\frac{1,9459101}{2,3025851}=0,8450980$

Reemplazando:

$x = 7*0,3010300+5*0,8450980+2*1,0413927-6*0,4771212=2,1072100+4,2254900+2,0827854-2,8627272=5,5527582$

6. Para comprobar si el valor obtenido de x es el correcto debemos reemplazar en la ecuación y resolver utilizando las propiedades de la potenciación, tal como se muestra a continuación:

x = 5,5527582

$5,5527582 = log_{10}(\frac{2^7*7^5*11^2}{3^6} )$

$10^{5,5527582} = \frac{2^7*7^5*11^2}{3^6}$

$3^6*10^{5,5527582} = 2^7*7^5*11^2$

$729*357073,9764780= 128*16807*121$

$260306928,8520000 \approx 260306816$

Como se obtienen los mismos resultados a ambos lados de la igualdad queda demostrado que x = 5,5527582

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