Question

Aplica la potenciación y las propiedades de los números reales.

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Answer 1

Números reales y potenciación: Propiedades

Los números reales tienen numerosas propiedades, con respecto a la multiplicación y potenciación tenemos algunas de las más importantes y que serán usadas en estos ejercicios:

$\tt{(\frac{x}{y})^a\times (\frac{x}{y})^b=(\frac{x}{y})^{a+b} }$

$\tt{x^a\times x^b=x^{a+b}}$

$\tt{(\frac{x}{y})^a= \frac{x^a}{y^a} }$

$\tt{(x^a)^b=(x^b)^a=x^{a.b}}$

También tenemos las leyes de signos en la potenciación:

$\tt{(-x)^a} \ ; \ \left \{ {{si\ a \ es \ impar \rightarrow (-x)^a= -x^a } \atop {si\ a \ es \ par \rightarrow (-x)^a= x^a \ \ \ \ }} \right.$

La radicación es un proceso particular de la potenciación, aquí algunas propiedades:

$\tt{\sqrt[b]{x^a} =x^{\frac{a}{b}} }$

$\tt{\sqrt[2]{x} =\sqrt{x} =x^{\frac{1}{2}} }$

$\tt{\sqrt{x}^2=|x| } \ ; \ \left \{ {{x \geq 0 \rightarrow |x|=x } \atop {\ x < 0 \rightarrow |x|=-x}} \right.$  _________________________________________________________

Ahora empezamos a resolver los ejercicios

Haciendo uso de dichas propiedades, procedemos:

1.   $\tt{6^4=6 \times 6 \times 6 \times 6= 1296}$
2.  $\tt{(\frac{8}{9} )^3=\frac{8^3}{9^3}= 0.7023}$
3.  $\tt{(\sqrt{37})^2=(37^{\frac{1}{2} })^2=37^{(\frac{^1}{2} \times 2)}=37}$
4.  $\tt{(-0.4)^3=-(\frac{4}{10})^3= -(\frac{4^3}{10^3})=-\frac{64}{1000}=-0.064}$  
5.  $\tt{[(\frac{2}{3}) ^2]^3=(\frac{2}{3}) ^{2\times 3}= (\frac{2}{3}) ^{6}=(\frac{2^6}{3^6}) =\frac{64}{729}=0.088}$
6.  $\tt{(\frac{4}{5})^6 \div (\frac{4}{5})^4=(\frac{4}{5})^{6-4}=(\frac{4}{5})^2=0.64 }$
7.  $\tt{(\frac{1}{6})^1\times(\frac{1}{6})^2=(\frac{1}{6})^{1+2}=(\frac{1}{6})^3=0.0046}$