Dos derrames de petróleo son circulares y sus centros están separados una distancia de 6 Km. Determine cada una de los radios, si la suma de las áreas es igual a 20 π. Suponga que los círculos son tangentes.
2. Graficar el problema propuesto
3. Determinar los datos , incógnitas
4. Plantear el sistema de ecuaciones
5. Resolver el sistema de ecuaciones con un proceso adecuado y ordenado.
6. Comprobar las posibles soluciones y escribir el conjunto solución.
7. Escribir una conclusión de los efectos del derrame de petróleo y el calentamiento
global.
Respuestas
Al realizar el ejercicio sobre los derrames petroleros se determina que uno de los derrames ocupa un círculo de radio 4 km y de un área de 16π km² y el otro círculo sera de radio 2 km y de un área de 4π km²
Como los círculos son tangentes entonces esta uno al lado del otro y tocan en un punto, en la imagen adjunta podemos ver la gráfica del problema propuesto, dibujamos la distancia entre los centros
Datos: la distancia entre los centros 6 km, la suma de las áreas 20π
Incognitas: el radio de cada uno de los círculos r1,r2, el área de cada círculo A1, A2
Ecuaciones:
La distancia entre los centros sera igual a la suma de los radios, entonces:
1. r1 + r2 = 6 km
La suma de las áreas es igual a 20π, por lo tanto:
2. A1 + A2 = 20π
El área de cada uno de los círculos es π por el radio al cuadrado: por lo que:
3. π*r1² = A1
4. π*r2² = A2
Despejamos una de las incógnitas de la primera ecuación:
5. r1 = 6 km - r2
Sustituimos en la ecuación 3:
π*(6 km - r2)² = A1
Usando producto notable:
6. A1 = π*(36 km² - 12r2 km + r2²)
Sustituimos las ecuaciones 6 y 4 en la ecuación 2
π*(36 km² - 12r2 km + r2²) + π*r2² = 20π km²
36 km² - 12r2 km + r2² +r2² = 20 km²
2r2² - 12r2 km +16 km² = 0
r2² - 6r2 km + 8 km² = 0
Las raíces son: r2 = 2 km, o r2 = 4 km
Si r2 = 2 km entonces r1 = 6 km - 2 km = 4 km
Si r2 = 4 km entonces r1 = 6 km - 4 km = 2 km
Entonces los radios miden uno de ellos 4 km y el otro 2 km, sin perdida de la generalidad supondremos r1 = 4 km y r2 = 2km
A1 = π*(4 km)² = 16π km²
A2 = π*(2 km)² = 4π km²
