Question

El marco de un retrato mide 2 pulgadas más de largo que de ancho. Si el área que abarca el marco es de 24 pulgadas cuadradas. ¿ Cuantas pulgadas de listón se debe usar para decorar el contorno de este marco ? ​

Answer 1

Las dimensiones del marco del retrato son de 20 pulgadas, siendo esta la cantidad de listón que se debe usar para decorar el contorno del marco

Solución

Se desea construir un marco para un retrato rectangular

Del cual conocemos su área y que su largo mide 2 pulgadas más que su ancho

Hallaremos los valores de los lados a partir de su área

Recordemos que

Un rectángulo es un polígono con cuatro lados siendo éstos iguales dos a dos. Siendo sus cuatro ángulos interiores rectos, es decir de 90°.

Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su área es el producto de sus dos lados contiguos (a y b)

Pudiendo decir

$\large\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo\ . \ Ancho }}$

Donde

Llamaremos variable x a su ancho,

$\large\textsf{Ancho = x }$

y sabiendo que el largo es 2 pulgadas mayor que la ancho será (x+2)

$\large\textsf{Largo = (x + 2) }$

Conocemos el valor del área del rectángulo que es de 24 in²

$\large\textsf{\'Area = 24 }\bold {in^{2}}$

Estamos en condiciones de plantear una ecuación que satisfaga al problema

$\large\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo\ . \ Ancho }}$

$\textsf{Quitamos unidades para facilitaci\'on }$

$\boxed {\bold { 24= (x+2) \ . \ x }}$

$\boxed {\bold { (x+2) \ . \ x = 24 }}$

$\boxed {\bold { x \ . \ x \ +\ 2x = 24 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 2x = 24 }}$

$\large\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 2x - 24 = 0 }}$

$\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }$

La cual se puede resolver para x

a) Por factorización

$\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 2x - 24 = 0 }}$

$\large\textsf{Considerando la forma: } \bold {ax^{2} + bx + c}$

$\large\textsf{Hallamos un par de enteros cuyo producto sea c y su suma sea b }$

$\large\textsf{Donde el producto es -24 y la suma es 2 }$

Los números enteros son:

$\boxed{ \bold{ -4 , \ 6 }}$

$\large\textsf{Escribimos en forma factorizada empleando esos n\'umeros enteros }$

$\boxed{ \bold{(x -4 ) (x+6) = 0 }}$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a 0, la expresión completa será igual a  0

Luego

$\boxed{ \bold{x -4 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = 4 }}$

$\boxed{ \bold{x + 6 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = -6 }}$

La solución completa son los valores que hacen  a (x-4)(x+6) = 0 verdadero

$\large\boxed{ \bold{x = 4, - 6 }}$

b) Empleando la fórmula cuadrática

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b =2 y c = -24 }$

$\large\textsf{Para resolver para x }$    

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -2 \pm \sqrt{ 2^2 - 4\ . \ (1 \ . \ -24) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -2 \pm \sqrt{4- 4\ . \ -24 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -2 \pm \sqrt{4+ 96 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -2 \pm \sqrt{100 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -2 \pm \sqrt{10^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -2 \pm10 }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = -1 \pm 5 }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\large\boxed{ \bold{x = 4, - 6 }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de x dado que es una medida de longitud }$

$\large\boxed{ \bold{x = 4 \ pulgadas }}$

Nota: Se ha hallado el valor de la variable x por 2 métodos, en donde no es necesario que se resuelva el problema desarrollando ambos. Se han desarrollado los dos para que ustedes empleen cualquiera de ellos, o con el que se sientan más familiarizados :)

Luego

$\large\textsf{Ancho = x }$

$\large\textsf{Ancho = 4 pulgadas }$

$\large\textsf{Largo = (x + 2) }$

$\large\textsf{Largo = (4 + 2) = 6 pulgadas }$

Sabiendo que el área del rectángulo es de 24 pulgadas cuadradas

Luego el ancho del retrato es de 4 pulgadas y el largo de 6 pulgadas

Con estas magnitudes halladas determinaremos el perímetro del marco

El perímetro de un rectángulo es la suma de sus cuatro lados. Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su perímetro será el doble de la suma de dos lados contiguos

Pudiendo decir

$\boxed{\bold { Perimetro \ Rectangulo = 2 (Largo \ + \ Ancho) }}$

Reemplazamos por los valores hallados

$\boxed{\bold { Perimetro \ Rectangulo = 2 (6 \ in \ + \ 4 \ in ) }}$

$\boxed{\bold { Perimetro \ Rectangulo = 2 (10\ in ) }}$

$\large\boxed{\bold { Perimetro \ Rectangulo = 20 \ in }}$