Question

Demostrar que solo se puede trazar una recta por el punto C(7;-2). de manera q su distancia al punto A(4;-6) sea igual a cinco. hallar su ecuación.

Answer 1

Sea y = m x + b la recta que pasa por el punto (7, - 2)

La forma general de la recta es m x - y + b = 0

Para el punto dado es 7 m + 2 + b = 0; luego b = - 7 m - 2

La distancia desde el punto (4, - 6) a la recta es:

5 = (4 m + 6 + b) / √(m² + 1); reemplazamos b:

5 √(m² + 1) = 4 m + 6 - 7 m - 2 = - 3 m + 4; elevamos al cuadrado:

25 (m² + 1) = 9 m² - 24 m + 16; reordenamos términos:

16 m² + 24 m + 9 = 0; es un trinomio cuadrado perfecto

(4 m + 3)² = 0; de modo que m = - 3/4 (solución única)

b = - 7 (- 3/4) - 2 = 13/4

La recta buscada es y = - 3/4 x + 13/4

Casualmente el punto (7, - 2) corresponde con el pie de la perpendicular desde el punto (4, - 6) a la recta. La distancia entre ellos es 5

d =√[(7 - 4)² + (- 2 + 6)²] = 5

Adjunto gráfico.

Saludos Herminio