Question

Un poste de luz alejado del sol ya 6° de la vertical, proyecta una sombra de 12m de largo cuando el ángulo de elevación del sol es de 44°. Suponiendo que el nivel del suelo donde esta situado el poste es horizontal, calcule su longitud.

Answer 1

La altura del poste de luz es de aproximadamente 10,578 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Representamos la situación en un imaginario triángulo acutángulo el cual está conformado por el lado AC (b) que representa la altura del poste inclinado, el lado AB (c) que equivale a la longitud que proyecta la sombra del poste sobre la línea del suelo  y el lado BC (a) que es la proyección del ángulo de elevación al sol.      

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Hallando el valor del ángulo α  - Para conocer la inclinación del poste

Sucede que el poste al inclinarse en la dirección del sol se inclina 6° en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la línea vertical hacia el sol, es decir se inclina hacia el plano del suelo. es decir se inclina hacia la dirección a su sombra

Vamos a calcular la inclinación del poste

Si el poste no se hubiese inclinado formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo, en donde para este ejercicio al inclinarse el poste en el sentido hacia su propia sombra debemos restar la inclinación de 6° dada

$\large\boxed {\bold { \alpha = 90\° -\ 6\° = 84\° }}$

Al ángulo de elevación  de 44° dado por enunciado lo denotaremos como β

Si

$\boxed {\bold { \beta = 44\° }}$

Hallando el valor del ángulo γ    

Por enunciado sabemos un valor de los ángulos del triángulo acutángulo y hemos hallado al segundo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180\° = 84\°+ 44\° + \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180\° - 84\°- 44\° }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma = 52\° }}$

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Calculando la altura del poste de luz

Hallando el valor del lado b

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(44\° ) } = \frac{ 12 \ metros }{sen(52\°) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 12 \ metros \ . \ sen(44\° ) }{sen(52\°) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 12\ metros \ . \ 0,6946583704589 }{ 0,7880107536067 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 8,3359004455079 \ metros }{0,2923717047227 } }}$

$\boxed { \bold { b \approx 10,578405 \ metros } }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 10,578 \ metros } }}$

La altura del poste de luz es de aproximadamente 10,578 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas