Question

Un rifle dispara una bala con una velocidad inicial de 600 m/s contra un blanco situado a 200 m. El rifle se mantiene horizontal y dirigido directamente hacia la diana. ¿A qué distancia por debajo de la diana dará la bala en el blanco? Considere un valor de gravedad de 10 m/s².

Answer 1

La distancia por debajo de la diana donde impacta la bala en el blanco es de 0,5445 metros

Se trata de un problema de tiro o lanzamiento horizontal.  

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }}$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $(\bold { V_{y} = 0 ) }}$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

Solución

Introducción al problema

Se tiene un rifle el cual se mantiene horizontal apuntando directamente contra un a diana situada a una determinada distancia

En donde la bala que dispare el rifle describirá una trayectoria semiparabólica, por lo tanto es imposible que acierte a la diana, dado que por la trayectoria que realizará el proyectil, este debe impactar forzosamente por debajo de la diana o del centro del blanco

Y esa distancia de impacto por debajo de la diana es nuestra incógnita y lo que vamos a determinar

Los datos que tenemos son:

La velocidad de lanzamiento del proyectil

$\boxed {\bold { V_{0} = 600 \ m / s }}}$

Y su alcance máximo

$\boxed {\bold { x_{MAX} = 200 \ m }}}$

Establecemos ecuaciones de posición

Siendo

Para el eje x (MRU)

$\boxed {\bold { x ={x_{0} +V_{x} \ . \ t }}}$

Para el eje y (MRUV)

$\boxed {\bold { y ={y_{0} +V_{0y} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{y} \ . \ t^{2} }}}$    

Dado que

$\boxed {\bold { y_{0}= H }}$

$\boxed {\bold { x_{0}= 0 }}$

$\boxed {\bold { a_{y}= g }}$

Podemos reescribir como:

Posición

Para el eje x

$\boxed {\bold { x ={x_{0} +V \ . \ t }}}$    

$\textsf{Donde quitamos unidades }$

$\boxed {\bold { x =0 + 600 \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { x = 600 \ . \ t }}}$       $\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Para el eje y

$\boxed {\bold { y ={H + \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}}$

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g= 10 \ m/ s^{2} }$

$\boxed {\bold { y ={H + \frac{1}{2} \ . \ (-10) \ . \ t^{2} }}}$  

$\boxed {\bold { y ={H -5 \ . \ t^{2} }}}$     $\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Luego para el instante de tiempo donde la bala impacta a la diana lo conocemos, dado que es el tiempo de vuelo del proyectil.

Y también conocemos su posición para ese instante de tiempo ya que tenemos como dato el alcance del proyectil

$\boxed {\bold { x_{MAX} = 200 \ m }}}$

Reemplazamos en

$\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold { 200 = 600 \ . \ t }}}$

Y despejamos el tiempo  $\bold {t= t_{V} }$

$\boxed {\bold { t_{v} = \frac{200}{600} }}}$

$\boxed {\bold { t_{v} = 0,33 \ segundos }}}$

El tiempo de vuelo es aquel que recorre la bala desde el momento del disparo del rifle hasta que impacta el blanco de tiro

En donde y = 0

Por lo tanto en

$\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed {\bold { y ={H -5 \ . \ t^{2} }}}$

Reemplazamos el valor del tiempo

$\boxed {\bold { 0 ={H -5 \ . \ (0,33)^{2} } }}}$

$\boxed {\bold { 0 ={H -5 \ . \ 0,1089 } }}}$

$\boxed {\bold { 0 ={H -0,5445 } }}}$

Despejamos H que es la distancia a la que impactó la bala por debajo de la diana

$\large\boxed {\bold { H= 0,5445 \ metros} }}}$  

Dedicado a mi padre, mi primer mentor en todas las cosas. Y mi primer instructor de tiro.