Question

1. Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro está en el origen de

coordenadas, su foco se encuentra en (6; 0) y uno de sus vértices es

(8; 0)​

Answer 1

Respuesta:

$\frac{x {}^{2} }{16} + \frac{y {}^{2} }{28} = 1$

Explicación paso a paso:

Por ser una elipse con centro en el origen y tener uno de sus vértices en ( 8 , 0 ) se trata de una elipse horizontal cuya ecuación canónica es:

$\frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1$

su centro está en el origen, por lo tanto sus coordenadas son ( 0 , 0 )

Por ser una elipse horizontal, las coordenadas de sus vértices se determinan con :

V1 ( a , 0 ) V2 ( -a , 0 )

Por lo tanto podemos decir que sus vértices son:

V1 ( 8 , 0) V2 ( -8 , 0 )

Para hallar la ecuación, falta encontrar el parámetro b, el cual se obtiene de la siguiente condición:

$a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2}$

Donde el parámetro c, lo obtendremos de las coordenadas de uno de sus focos, el cual conocemos y es ( 6 , 0 ) el cual está determinado por:

f1 ( c , 0 ) f2 ( -c , 0 )

Por lo tanto, c vale 6

Obtenemos el parámetro b :

$a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ b = \sqrt{a {}^{2} - c{}^{2} }$

$b = \sqrt{8 {}^{2} - 6 {}^{2} } \\ b = \sqrt{64 - 36} \\ b = \sqrt{28}$

Ahora únicamente se sustituyen valores en la ecuación:

$\frac{x {}^{2} }{8 {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{ (\sqrt{28}) {}^{2} } = 1 \\ \frac{x {}^{2} }{16} + \frac{y {}^{2} }{28} = 1$