Resuelve la ecuación diferencial senydx+(sen^2 y - xcosy) dy=0 , sujeta a la condición inicial (0) =π/2 , ayuden por favor.

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Respuesta dada por: Anónimo
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Explicación:

Sen y dx + ( Sen^{2}y -x Cosy )dy = 0; y(0)=\frac{\pi }{2}

Dividimos entre Sen^{2} y.

\frac{Sen y}{Sen^{2} y} dx + (\frac{Sen^{2}y-xCosy }{Sen^{2}y } )dy = \frac{0}{Sen^{2}y }

\frac{1}{Sen^{}y } dx + (\frac{Sen^{2}y-xCosy }{Sen^{2}y } )dy = 0

M dx + N dy = 0

M = \frac{1}{Sen y}         ;            N =( \frac{Sen^{2}y - xCosy }{Sen^{2}y })

\frac{D_{M} }{D_{y} }  =  \frac{D_{N} }{Dx_{} }

\frac{D_{M} }{D_{y} }  = -coty cscy         ;          \frac{D_{M} }{Dx{_} }  } = -coty cscy

La ecuación es Exacta.

SOLUCIÓN GENERAL:  F ( x, y ) = C.

\frac{D_{F} }{Dx_{} }  =M               ;                \frac{D_{F} }{D_{y} }  = N

\frac{D_{F} }{D_{y} }  = N --------\frac{D_{F} }{D_{y} } = (\frac{Sen^{2}y -x Cos y }{Sen^{2}y }  )

\int\limits D_{F}  = \int\limits (\frac{Sen^{2}y-xCosy }{Sen^{2}y })D_{y}

F = y + \frac{x}{Sen y} + g( x )

\frac{D_{F} }{Dx_{} } = Cscy + g' (x )

\frac{D_{F} }{Dx_{} }  = M

Cscy + g' (x ) = \frac{1}{Seny}, entonces : Cscy + g' ( x ) = Csc y

g' ( x ) = 0

Aplicando integral en ambos miembros:

\int\limits g' (x )dx = \int\limits0 dx

g(x) = C_{1}

Sustituyendo en: F = y + \frac{x}{Seny} + g ( x )

F = y + \frac{x}{Seny} + C_{1}

Como F ( x, y ) = C , entonces.

y + \frac{x}{Seny} + C_{1}  = C

y + \frac{x}{Seny} = C-C_{1}

y + \frac{x}{Sen y}  = K ------ SOLUCIÓN GENERAL.

y ( 0 ) = \frac{\pi }{2}

Sustituyendo en:   y + \frac{x}{Sen y}  = k

\frac{\pi }{2} + \frac{0}{Sen \frac{\pi }{2} }  = K

\frac{\pi }{2} + 0 = K

K = \frac{\pi }{2}

Luego,  y + \frac{x}{Sen y }  = \frac{\pi }{2}

y + \frac{x}{Seny}  = \frac{\pi }{2} ----- SOLUCIÓN PARTICULAR.

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