La suma de tres números en P.G. es 70. Si
se multiplican los dos extremos por 4 y el
intermedio por 5, los productos están en P.A.
Halla la suma de los cinco primeros términos de
la P.G., si la razón no es un número entero.
Respuestas
Respuesta:
77,5
Explicación paso a paso:
La suma de tres números en Progresión geométrica es 70
a + ar + a.r² = 70
a(1 + r + r²) = 70
Si los extremos se multiplican por 4 y el intermedio por 5, los productos están en progresión aritmética.
4a , 5ar , 4ar²
5ar - 4a = razón y 4ar² - 5ar = razón
Igualamos:
5ar - 4a = 4ar² - 5ar
Simplificamos a:
5r + 5r = 4r² + 4
10r = 4r² + 4
0 = 4r² - 10r + 4
Resolvemos la ecuacion cuadrática:
4r² - 10r + 4 = 0
2r - 1
2r - 4
(2r - 1)(2r - 4) = 0
Primera solución:
2r - 1 = 0
2r = 1
r = 1/2
Segunda solución:
2r - 4 = 0
2r = 4
r = 4/2
r = 2
Hay dos soluciones para r; pero el problema nos indica que la razón no es un número entero
r = 2 y r= 1/2
reemplazamos r = 1/2 en (1)
a(1 + r + r²) 70
a (1 + 1/2 + (1/2)²) = 70
resolvemos:
a (1 + 1/2 + 1/4) = 70
a.(4/4 + 2/4 + 1/4) = 70
a .(7/4)= 70
a = 70.(4)/10
a = 40
los numeros son:
para r = 1/2 y a = 40
a , ar , a.r²
40 , 40(1/2) , 40.(1/2)²
40 , 20 , 40.(1/4)
40 , 20 , 10
40; 20; 10; 5; 2,5
40+20+10+5+2,5 = 77,5
Espero te sirva de ayuda.