Question

Queremos medir la anchura del río
en un tramo donde las orillas son
paralelas. Para ello, marcamos en
una de ellas dos puntos separa-
dos 100 m y, desde dichos puntos,
observamos otro punto de la orilla
opuesta bajo dos visuales de 54º y
65º. ¿Qué anchura tiene el río?​

Answer 1

Para resolver este problema recordemos algunas razones trigonométricas como la tangente:

                                     $\boxed{\mathsf{\tan(\alpha)=\dfrac{Cateto\:opuesto}{Cateto\:adyacente}}}$

Ahora bosquejamos una gráfica del problema(Ver imagen)

Procedemos a realizar los cálculos

              ✔                                                ✔

                  $\mathsf{\tan(54\°)=\dfrac{H}{a+x}}\\\\\\\mathsf{a+x=\dfrac{H}{\tan(54\°)}}\\\\\\\boxed{\mathsf{a=\dfrac{H}{\tan(54\°)}-x}}$                      $\mathsf{\tan(65\°)=\dfrac{H}{x+b}}\\\\\\\mathsf{x+b=\dfrac{H}{\tan(65\°)}}\\\\\\\boxed{\mathsf{b=\dfrac{H}{\tan(65\°)}-x}}$

Pero sabemos que

                       $\center \mathsf{a + x + b = 100}\\\\\\\center \mathsf{\left(\mathsf{\dfrac{H}{\tan(54\°)}-x\right) + x + \left(\dfrac{H}{\tan(65\°)} - x}\right) = 100}\\\\\\\center \mathsf{\left(\mathsf{\dfrac{H}{\tan(54\°)}}+\dfrac{H}{\tan(65\°)}}\right) + x = 100}\\\\\\\center \mathsf{H\left(\mathsf{\dfrac{1}{\tan(54\°)}}+\dfrac{1}{\tan(65\°)}}\right) + x = 100}\\\\\\\center \mathsf{H(1.193) + x = 100}\\\\\\\center \boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{x = 100 - 1.193H }}}}$

H es la altura a la que se plantó el teodolito(máquina para ángulos y distancias).

                                                                                                          〆ʀᴏɢʜᴇʀ ✌