Question

Considere un circuito compuesto por una fem V , dos resistencias iguales (R1 = R2 = R) y una

inductancia L, conectadas tal como se muestra en la figura. En el instante t = 0 se cierra el

interruptor S. En este contexto encuentre:


a) La corriente que pasa por la resistencia R2 en t = 0.

b) La corriente que pasa por la resistencia R1 cuando t → ∞.

c) La corriente que pasa por la resistencia R2 cuando t → ∞.

d) La corriente que pasa por la inductancia L cuando t → ∞.

e) La corriente que pasa por la inductancia en función del tiempo.

f ) La energía que está siendo almacenada en la inductancia en función del tiempo.

g) La energ´ıa total almacenada en la inductancia.

Answer 1

En cuanto a los datos del circuito planteados tenemos:

a) La corriente en el instante inicial es $I=\frac{V}{2R}.$

b) La corriente por R1 una vez establecido el régimen es $I=\frac{V}{R}$

c) La Corriente por R2 una vez establecido el régimen es cero.

d) La corriente por la inductancia una vez establecido el régimen es $I=\frac{V}{R}$

e) La corriente por la inductancia en función del tiempo sigue la expresión $i=\frac{V}{R}(1-e^{-\frac{R}{2L}t})$

f) La energía almacenada en la bobina en función del tiempo es $U=\frac{1}{2}L.\frac{V^2}{R^2}(1-e^{-\frac{R}{2L}t})^2$

g) La energía total almacenada en la bobina es $U=\frac{1}{2}L\frac{V^2}{R^2}$

Explicación:

a) En el instante t=0, la bobina presenta su fuerza contraelectromotriz para oponerse al cambio brusco de corriente con lo cual actúa en ese instante como un circuito abierto, por lo que la corriente por R2 en t=0 es:

$I=\frac{V}{R_1+R_2}=\frac{V}{2R}$

b) Si se considera la resistencia de la bobina despreciable, en corriente continua esta actúa como un cortocircuito, por lo que la corriente por R1 una vez establecido el régimen permanente es:

$I=\frac{V}{R_1}=\frac{V}{R}.$

c) Entonces si la bobina actúa como cortocircuito, la resistencia R2 no tiene caída de tensión por lo que su corriente es cero.

d) Si la bobina actúa como cortocircuito, toda la corriente del circuito pasa por ella entonces la corriente por la bobina mucho tiempo después de encendido el circuito es:

$I=\frac{V}{R}$

e) Para hallar la corriente por la inductancia en función del tiempo hay que resolver una ecuación diferencial:

$v_L=L.\frac{dI_L}{dt}\\\\I=I_L+\frac{v_L}{R_2}=I_L+\frac{L}{R}\frac{dI_L}{dt}\\\\\frac{V-L\frac{dI_L}{dt}}{R}=I_L+\frac{L}{R}\frac{dI_L}{dt}\\\\\frac{V}{R}-\frac{L}{R}\frac{dI_L}{dt}=I_L+\frac{L}{R}\frac{dI_L}{dt}\\\\\frac{V}{R}=I_L+\frac{2L}{R}\frac{dI_L}{dt}$

Es una ecuación a coeficientes constantes por lo que suponemos:

$I_L=A.e^{\alpha.t}+C$

Y queda:

$\frac{V}{R}=(A.e^{-\alpha.t}+C)+\frac{2L}{R}.(-\alpha.A.e^{-\alpha.t})\\\\t=0=>I_L=0=>C=-A\\\\A-A+\frac{2L}{R}(-\alpha.A)=\frac{V}{R}\\\\\frac{2L}{R}(-\alpha.A)=\frac{V}{R}\\\\t\rightarrow \infty =>I_L=\frac{V}{R}=>A=\frac{V}{R}\\\\\frac{2L}{R}(-\alpha.\frac{V}{R})=\frac{V}{R}\\\\\alpha=-\frac{R}{2L}\\\\I=\frac{V}{R}(1-e^{-\frac{R}{2L}t})$

f) Con la expresión de la corriente por la bobina podemos hallar la energía almacenada:

$U=\frac{1}{2}LI^2=\frac{1}{2}.L.\frac{V^2}{R^2}.(1-e^{-\frac{R}{2L}t})^2$

g) La energía total almacenada en la bobina será la energía con la corriente en régimen permanente:

$U=\frac{1}{2}LI^2=\frac{1}{2}L.\frac{V^2}{R^2}$