Question

AYUDA POR FAVOR
Un estudiante lanza una bola de papel hacia el basurero con un
ángulo de 50° con respecto al suelo, con una de 10 m/s. Realizar una gráfica del
problema planteado y Calcular:
a) el tiempo que dura la bola de papel en el aire
b) La altura máxima que alcanza
c) El alcance horizontal máximo.

Answer 1

La bola de papel tiene un tiempo de vuelo de 1,56 segundos, alcanza una altura máxima de 2,99 metros y aterriza 10 metros del punto desde donde fue lanzada.

Explicación:

Para resolver los 3 puntos vamos primero a hallar la ecuación de la trayectoria de la bola componiendo las ecuaciones de las posiciones horizontal y vertical, dichas ecuaciones son:

$y=y_0+v_0.sen(\theta).t-\frac{1}{2}gt^2\\\\x=x_0+v_0.cos(\theta).t$

Vamos a suponer que la bola parte del punto (0,0) para simplificar cálculos y queda:

$y=v_0.sen(\theta).t-\frac{1}{2}gt^2\\\\x=v_0.cos(\theta).t$

De aquí despejamos el tiempo de la ecuación de posición horizontal:

$t=\frac{x}{v_0.cos(\theta)}\\\\y=\frac{x}{v_0.cos(\theta)}.v_0.sen(\theta)-\frac{1}{2}g.(\frac{x}{v_0.cos(\theta)})^2\\\\y=x.tan(\theta)-\frac{1}{2}g.(\frac{x}{v_0.cos(\theta)})^2$

Ahora pasamos a resolver:

a) El tiempo que dura la bola en el aire es el tiempo en que esta vuelve a la posición vertical 0:

$0=v_0.sen(\theta).t-\frac{1}{2}gt^2\\\\0=v_0.sen(\theta)-\frac{1}{2}gt\\\\t=\frac{2v_0.sen(50\°)}{g}=\frac{2.10m/s.sen(50\°)}{9,81\frac{m}{s^2}}\\\\t=1,56s$

b) La altura máxima que alcanza podemos hallarla simplemente hallando el vértice de la parábola de la trayectoria, su abscisa es:

$x_m=\frac{tan(50\°)}{2\frac{1}{2}.g.\frac{1}{v_0^2cos^2(\theta)}}=\frac{tan(50\°)}{9,81.\frac{1}{10^2.cos^2(50\°)}}\\\\x_m=5,1m$

La reemplazamos en la ecuación de la trayectoria para hallar la altura máxima:

$y=5,1m.tan(50\°)-\frac{1}{2}.9,81.\frac{5,1^2}{10^2.cos^2(50\°)}\\\\y=2,99m$

c) Para hallar el alcance horizontal, ese es el punto en el que la posición vertical vuelve a cero, no tenemos más que igualar a 0 la ecuación de la trayectoria:

$x.tan(50\°)-\frac{1}{2}g.\frac{x^2}{10^2.cos^2(50\°)}=0\\\\tan(50\°)-\frac{1}{2}g.\frac{x}{10^2.cos^2(50\°)}=0\\\\x=\frac{tan(50\°).2.10^2.cos^2(50\°)}{9,81\frac{m}{s^2}}\\\\x=10m$