Question

. Supongamos que el número (aproximado) de bacteria en un cultivo en un tiempo t (medido en
horas) está dado por:
N(t) = 5000 + 3000 t – 2000t2.
A. ¿ Cuál es el número inicial de bacteria?
B. ¿ Cuánta bacteria hay luego de una hora?
C. ¿ En qué tiempo desaparece la población?
D. ¿ En qué tiempo la población de bacteria es máxima?

Answer 1

a) Sólo tienes que sustituir t por el tiempo que te piden:
$N(t)=5000+3000t-2000t^2 \\ N(0)=5000+3000*0-2000*0^2 \\ N(0)=5000$

b) Lo mismo, pero con t=1:
$N(t)=5000+3000t-2000t^2 \\ N(1)=5000+3000*1-2000*1^2 \\ N(0)=6000$

c) Aquí debes despejar t para N(t)=0:
$N(t)=0 \\ 5000+3000t-2000t^2 =0 \\ -2t^2+3t+5=0 \\ 2t^2-3t-5=0 \\ t= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} = \frac{3\pm \sqrt{(-3)^2-4*2*(-5)} }{2*2} =\frac{3\pm \sqrt{9+40} }{4} =\frac{3\pm 7 }{4} \\ \\ \left \{ {{t= \frac{5}{2}} \atop {t=-1}} \right.$

Como el tiempo no puede ser negativo, descartamos t=-1. Entonces, la solución es t=2,5.

d) Debemos encontrar el punto en el que la derivada de la función es 0:
$N(t)=5000+3000t-2000t^2 \\ N'(t)=3000-2*2000t \\ N'(t)=-4000t+3000\\ \\ \\ N'(t)=0 \\ -4000t+3000=0 \\ 4000t=3000 \\ t= \frac{3000}{4000} \\ \\ t= \frac{3}{4}$