la suma de los infinitos terminos de una progresion geometrica es 4 y la suma de sus cubos es 192. determinar el termino de lugar 5
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Buenos días:
La suma de los términos de una P.G., conociendo el primer término y la razón es:
Sn=a₁ / (1-r).
Por tanto:
4=a₁/(1-r) ==========⇒ a₁=4-4r (1)
Por otro lado, el término general de una P.G. es:
an=a₁.r^(n-1).
Vamos a calcular los primeros términos, y al lado pondremos sus cubos.
a₁=a₁.=====⇒a₁³=a₁³.
a₂=a₁.r ====⇒a₂²=a₁³.r³
a₃=a₁.r²====⇒a₃³=a₁³.r⁶
Por tanto en la nueva progresión geométrica, donde cada término es el cubo de la primera progresión geométrica, el primer término vale.
a₁=a₁³.
Y la razón la podemos calcular, dividiendo 2 términos consecutivos.
r=a₂/a₃=a₁³.r³/a₁³=r³
Por tanto:
Sn=a₁ / (1-r)
192=a₁³ / (1-r³). (2)
Con las ecuaciones (1) y (2) vamos a tener un sistema de ecuaciones:
a₁=4-4r
192=a₁³ / (1-r³)
Que lo resolveremos por sustitución:
192=(4-4r)³ / (1-r³).
192-192r³=64-192r+192r²-64r³
128r³+192r²-192r-128=0
Lo simplificamos dividiendo todos los términos por "64".
2r³+3r²-3r-2=0
Resolvemos por Ruffini:
2 3 -3 -2
1
2 5 2
------------------------------------------------
2 5 2 0
2r³+3r²-3r-2=(r-1).(2r²+5r+2)
Ya sabemos que una de las soluciones es r=1; pero esta solución no nos vale.
ya que [r]<1; Por tanto resolvemos la ecuación de 2º grado.
2r²+5r+2=0
Tenemos 2 soluciones:
r₁=-2, no nos vale ya que [r]<1.
r₂=-1/2. ====⇒ a1=4-4.(-1/2)=4+2=6.
Sol: an=6.(-1/2)^(n-1)
Explicación paso a paso: