>>>Calcula la tasa de variación de cada función en los intervalos dados<<<
f(x)=x-2
f(x)=2x+1
f(x)=x
f(x)=x+1
f(x)=x-8
f(x)=2
f(x)=x^2+x+1
f(x)=x^2+1
Respuestas
Respuesta:
1 Encuentra los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la siguiente función:
\displaystyle f(x) = x + \frac{4}{x}
Solución
2 Encuentra los máximos y mínimos de la siguiente función:
\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 6x + 9}
Solución
3 Determina las ecuaciones de la recta tangente y la ecuación normal en el punto de inflexión de la siguiente función:
\displaystyle f(x) = x^3 - 3x^2 + 7x + 1
Solución
Primero debemos encontrar el punto de inflexión de la derivada. Esto lo logramos al encontrar la segunda derivada de la función. La primera derivada está dada por
\displaystyle f'(x) = 3x^2 - 6x + 7
mientras que la segunda derivada está dada por
\displaystyle f''(x) = 6x - 6
El punto de inflexión se encuentra cuando f''(x) = 0, es decir,
\displaystyle 6x - 6 = 0
por lo que x = 1 es el punto de inflexión.
Luego, el valor de la derivada en el punto de inflexión es:
\displaystyle f'(1) = 3 - 6 + 7 = 4
Así, la pendiente de f(x) en x = 1 es 4. La recta tangente debe tener esa pendiente.
Si evaluamos la función en x = 1, tenemos:
\displaystyle f(1) = 1 - 3 + 7 + 1 = 6
Por tanto, la función pasa por el punto (1, 6) y la recta tangente debe pasar por el mismo punto.
1 Para determinar ecuación de la recta tangente, utilizamos la fórmula punto pendiente con m = 4 y x_0 = (1, 6):
\displaystyle y - 6 = 4(x - 1) = 4x - 4
por lo que la ecuación de la recta tangente es
\displaystyle y = 4x + 2
2 Similarmente, para encontrar la ecuación de la recta normal, utilizamos la fórmula pendiente, pero ahora con m = -1/4 y x_0 = (1, 6):
\displaystyle y - 6 = -\frac{1}{4}(x - 1) = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}
por lo que la ecuación de la recta normal es
\displaystyle y = -\frac{1}{4}x + \frac{25}{4}
or
\displaystyle x + 4y - 25 = 0
4 La cantidad y expresa el dinero acumulado en una máquina de tragaperras durante un día y se calcula de la siguiente manera:
\displaystyle y = \tfrac{1}{3}x^3 - 19 x^2 + 352x + 100
en donde la variable x representa el tiempo en horas (entre 0 y 24). Responde las siguientes preguntas:
a ¿Se queda sin dinero la máquina en alguna ocasión?
b Si se realiza la "caja" a las 24 horas. ¿La máquina da ganancias a los dueños de la máquina?
c ¿A qué hora la recaudación es máxima y a qué hora es mínima?
d ¿En qué momento la máquina entrega el mayor premio?
Solución
5 Sea f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 7. Encuentra los valores de a y b de manera que la gráfica de la función de f(x) tenga un punto de inflexión en x = 1 y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45^{\circ} con el eje-x.
Solución
6 Obtén la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4 en su punto de inflexión.
Solución
7 Determina el a, b y c para que la función f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c tenga un máximo en x = -4, tenga un mínimo para x = 0 y tome el valor de 1 en x = 1.
Solución
8 Determinar a, b, c, d y e de manera que la curva f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e tenga un punto crítico en (1, 3) y tenga un punto de inflexión tangente a la recta y = 2x en el punto (0, 0).
Solución
9 La curva f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en \left( \tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{9} \right). Encuentra los valores de a, b y c.
Solución
10 Dada la función
\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 + ax + c}
encuentra los valores de a, b y c tales que la función f(x) tenga en (2, -1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.
Solución
11 Encuentra los valores de a y b para que la función f(x) = a\ln x + bx^2 + x tenga valores extremos en los puntos x_1 = 1 y x_2 = 2. Luego, dados esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tiene la función en x_1 y en x_2?
Explicación paso a paso:
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