En un cuadrado de lado 10 π centímetros se inscribe otro más pequeño que apoya sus vértices en los puntos medios de los lados del cuadrado mayor. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado menor? Y ¿Cuál es el valor de la región sombreada?
Respuestas
Si el lado vale 10π, la mitad de este es 5π.
Los triangulos amarillos, tienen 2 angulos de 45º, y 1 de 90º.
Si te fijas, los dos catetos de todos los triangulos amarillos son igual a 5π.
Ahora, según el teorema de Pitagoras, c²+c² = h². Si los dos catetos son iguales, la equación queda así --> 2c² = h²
√(2c²) = h --> c√(2) = h.
Sustituyendo...
5π√(2) = h.
Es decir la hipotenusa de este triangulo (los lados del cuadrado menor) és igual a 5π√(2).
El perimetro del cuadrado menor és igual a 5π√(2) × 4 = 20π√(2).
P = 20π√(2).
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Para encontrar encontrar el valor de la región sombreada...
A = bh/2.
Podemos considerar que b = 5π, h = 5π
A = (5π)²/2 = 12,5π u². --> El area de un triangulo amarillo.
El area de los 4 triangulos --> 50π² u²
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u = unidad