Question

Se extraen 5 cartas al azar de una baraja de 52 cartas. Cuál es la probabilidad de
a. Extraer exactamente dos parejas (una pareja está constituida por ser iguales en número) y uno diferente.
b. Extraer cinco cartas del mismo color.​

Answer 1

A. Extraer exactamente dos parejas (una pareja está cinrituod por ser iguales en número) y uno diferente

Eso quiere decir que debes sacar como mínimo 3

Answer 2

La probabilidad de extraer, de la baraja de  52  cartas, exactamente dos parejas y una carta diferente es de  396/4165.  

¿Qué es una combinación?

Una combinación es un arreglo de los  n  elementos de un conjunto en grupos de  m  elementos, sin importar el orden de selección de estos elementos.

¿Cómo se calcula la combinación?

Nos apoyamos en el número combinatorio:

$\bold{nCm~=~(\begin{array}{c}n\\m\end{array})~=~\dfrac{n!}{(n~-~m)!~m!}}$

donde

• n    es el total de objetos a arreglar
• m   es el número o tamaño de las agrupaciones en que se van a realizar los arreglos

a. Extraer exactamente dos parejas y uno diferente.

El número de formas posibles que ocurra el evento de interés es el producto de las combinaciones de dos cartas iguales mas otras dos cartas iguales y una carta diferente en la muestra de cinco. El número de resultados posibles del espacio muestral es el número combinatorio que reporta cuantas agrupaciones de cinco cartas podemos formar con las 52 disponibles.

Evento  A:  2  parejas de cartas iguales y  1  diferente

Hay  13  números distintos y  4  cartas de cada número, por tanto debemos considerar que se tienen 13 opciones para la primera pareja,  12  opciones para la segunda pareja y  11  opciones para el quinto número. En total hay  52  cartas a ser tomadas de  5  en  5:

$\bold{P(A)~=~\dfrac{13(\begin{array}{c}4\\2\end{array})12(\begin{array}{c}4\\2\end{array})11(\begin{array}{c}4\\1\end{array})(\begin{array}{c}4\\0\end{array})...(\begin{array}{c}4\\0\end{array})}{(\begin{array}{c}52\\5\end{array})}\qquad\Rightarrow\qquad}$

$\bold{P(A)~=~\dfrac{13[\dfrac{4!}{(4~-~2)!~2!}]12[\dfrac{4!}{(4~-~2)!~2!}]11[\dfrac{4!}{(4~-~1)!~1!}]}{\dfrac{52!}{(52~-~5)!~5!}}~=~\dfrac{396}{4165}}$

La probabilidad de extraer, de la baraja de  52  cartas, exactamente dos parejas y una carta diferente es de  396/4165.  

b. Extraer cinco cartas del mismo color.

El número de formas posibles que ocurra el evento de interés es el producto de las combinaciones de cinco cartas del mismo color en la muestra de cinco. El número de resultados posibles del espacio muestral es el número combinatorio que reporta cuantas agrupaciones de cinco cartas podemos formar con las 52 disponibles.

Evento  B:  5  cartas de igual color

Hay  4  colores distintos y  13  cartas de cada color, por tanto debemos considerar que se tienen 4 opciones para la selección de la muestra. En total hay  52  cartas a ser tomadas de  5  en  5:

$\bold{P(B)~=~\dfrac{4(\begin{array}{c}13\\5\end{array})(\begin{array}{c}13\\0\end{array})(\begin{array}{c}13\\0\end{array})(\begin{array}{c}13\\0\end{array})}{(\begin{array}{c}52\\5\end{array})}\qquad\Rightarrow\qquad}$

$\bold{P(B)~=~\dfrac{4[\dfrac{13!}{(13~-~5)!~5!}]}{\dfrac{52!}{(52~-~5)!~5!}}~=~\dfrac{33}{16660}}$

La probabilidad de extraer cinco cartas del mismo color es de  33/16660.

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