Question

Si tengo un vector con 3 m de magnitud con 90º respecto del eje X y otro de 4 m con
0º respecto del eje X. Su resultante será:
a. 4,5 m
b. 7 m
c. 5 m
Los componentes de un vector de magnitud 10 m con un ángulo de 30º respecto del eje X es
a. 10 cos 30 y 10 sen 30
b. 10 cos 60 y 10 sen 60
c. 30 cos 10 y 30 sen 10

Answer 1

EJERCICIO 1

El vector resultante tiene una magnitud de 5 metros

EJERCICIO 2

Las componentes del vector dado son 10·cos 30° y 10·sen 30°, las cuales resultan en 5√3 metros (componente horizontal) y 5 metros (componente vertical) respectivamente

Componentes de un vector

Las componentes de un vector son las coordenadas del vector en un espacio cartesiano.

Si el espacio es bidimensional, entonces son dos componentes: (x, y). En cambio, si es tridimensional tenemos tres componentes: (x, y, z).

En los ejercicios propuestos tenemos dos componentes (x, y)

Un vector puede descomponerse en una suma de dos vectores que forman entré sí un ángulo de 90°

Esta operación se la denomina descomposición rectangular del vector

Para determinar las componentes de un vector se emplean métodos analíticos y gráficos.

La descomposición de un vector en sus componentes se puede hacer sobre cualquier dirección.  Sin embargo, lo más frecuente es descomponer sus componentes en direcciones perpendiculares: horizontal y vertical, sobre los ejes coordenados.

Solución

EJERCICIO 1

Método Analítico

Se tiene un vector de 3 metros de magnitud con 90° respecto del eje X, y el otro de un valor de 4 metros con 0° respecto al eje x

Donde se pide hallar el vector resultante

Para el vector que está ubicado a 90° con respecto al eje X, este será perpendicular a ese eje o lo que el lo mismo paralelo al eje Y

Se trata por lo tanto de la componente vertical del vector resultante que debemos hallar

Teniendo

$\large\boxed {\bold { {V_{y} = 3\ m }}}$

El vector que está ubicado a 0° con respecto al eje X es paralelo a ese eje

Resultando ser la componente horizontal del vector resultante

Teniendo

$\large\boxed {\bold { {V_{x} = 4 \ m }}}$                    

Hallando el valor del módulo del vector

Debemos aplicar el teorema de Pitágoras.

Dado que la magnitud del vector equivale a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, siendo los catetos los componentes en x y en y del vector.

Para este caso estamos componiendo el vector, dado que conocemos sus componentes horizontal y vertical

Planteamos:

$\large\boxed{\bold { \overrightarrow { V_{R } } = \sqrt{ ( V_{X} )^{2} + ( V_{Y} )^{2} } }}$

$\boxed{\bold { \overrightarrow { V_{R } } = \sqrt{ 4^{2} + 3^{2} } }}$

$\boxed{\bold { \overrightarrow { V_{R } } = \sqrt{16 + 9 } }}$

$\boxed{\bold { \overrightarrow { V_{R } } = \sqrt{25 } }}$

$\large\boxed{\bold { \overrightarrow { V_{R } } = 5 \ metros } }}$      

El vector resultante tiene una magnitud de 5 metros

Método gráfico

En un eje de coordenadas cartesianas (x,y) se trazan las componentes horizontal y vertical haciendo coincidir ambos componentes en X y en Y con el origen de coordenadas (0,0)

Trazamos luego dos líneas perpendiculares desde el extremo final de cada una de las componentes horizontal y vertical , una hacia el eje de las X y otra hacia el eje Y, y en la intersección de ambos segmentos hallaremos el extremo final del vector resultante

Trazándolo luego desde el origen de coordenadas hasta la intersección mencionada

Se agrega como adjunto la resolución gráfica

EJERCICIO 2

Método analítico

Dado un vector de 10 metros de magnitud que forma un ángulo de 30° con respecto al eje X

Se pide hallar las componentes horizontal y vertical del vector

Para resolver este problema se emplean las razones trigonométricas habituales con el ángulo de aplicación

Luego

Hallamos las componentes vertical y horizontal del vector$\bold { \alpha = 30\° }}$

Componente horizontal del vector

Sobre el eje x    

$\large\boxed {\bold { {V_{x} = \overrightarrow{V_{r}} \ . \ cos \ \alpha}}}$

$\large\boxed {\bold { {V_{x} = 10\ m \ . \ cos \ 30\° }}}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 30\° es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } { 2 } }}$    

$\boxed {\bold { {V_{x} = 10\ m \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { {V_{x} = 2 \ . \ (5)\ m \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { {V_{x} = 5\ m \ . \ {\sqrt{3} } }}}$

$\large\boxed {\bold { {V_{x} = 5\sqrt{3} \ metros }}}$  

Componente vertical del vector

Sobre el eje y    

$\large\boxed {\bold { {V_{y} = \overrightarrow{V_{r}} \ . \ sen \ \alpha}}}$

$\large\boxed {\bold { {V_{y} = 10\ m \ . \ sen\ 30\° }}}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 30\° es } \bold {\frac{ 1 } { 2 } }}$    

$\boxed {\bold { {V_{y} = 10\ m \ . \ \frac{1 }{2} }}}$

$\boxed {\bold { {V_{y} = \frac{10 \ m }{2} }}}$

$\large\boxed {\bold { {V_{y} = 5 \ metros }}}$  

Método gráfico

En un eje de coordenadas cartesianas (x,y) se traza el vector colocándolo en el origen de coordenadas (0,0)

Desde el extremo del vector se trazan segmentos perpendiculares a los ejes X e Y orientado desde el origen hasta los puntos de las intersecciones de las perpendiculares con los ejes, obteniendo de esta manera los componentes horizontal y vertical del vector

Se agrega como adjunto la resolución gráfica