Question

Los lados de un triángulo rectángulo estan en progresion aritmética de razon 3. Hallar el área de la región triangular​

Answer 1

El área de la región triangular es de 54 unidades cuadradas

Se tiene un triángulo rectángulo en donde los lados están en una progresión aritmética de razón 3

Se pide hallar el área del triángulo

Solución

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} = hipotenusa^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2} = \ c^{2} }}$

Donde

Llamaremos variable x a uno de sus catetos,

$\large\textsf{Cateto 1 = x }$    

Luego:

$\large\textsf{Cateto 2 = (x + 3) }$

$\large\textsf{Hipotenusa = (x + 6) }$

Aplicando teorema de Pitágoras

$\boxed {\bold { a^{2} \ + \ b^{2} = \ c^{2} }}$

Podemos reescribir

$\boxed {\bold { x^{2} + (x+3)^{2} = (x+6)^{2} }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + (x+3)^{2} = (x+6) (x+6) }}$

Expandimos (x+6) (x+6)

$\boxed {\bold { x^{2} + (x+3)^{2} = x^{2} + 6x + 6x +36 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + (x+3)^{2} = x^{2} + 12x +36 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + (x+3)(x+3) = x^{2} + 12x +36 }}$

Expandimos (x+3) (x+3)

$\boxed {\bold { x^{2} + x^{2} + 3x +3x+9 = x^{2} + 12x +36 }}$

$\boxed {\bold { x^{2} + x^{2} + 6x +9 = x^{2} + 12x +36 }}$

Ordenamos los términos e igualamos a 0

$\boxed {\bold { x^{2} + x^{2} + 6x +9 - x^{2} - 12x -36 = 0 }}$

$\large\boxed {\bold { x^{2} - 6x -27 = 0 }}$

$\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }$

La cual se puede resolver para x

a) Por factorización

$\boxed {\bold { x^{2} \ - \ 6x - \ 27 = 0 }}$

$\large\textsf{Considerando la forma: } \bold {ax^{2} + bx + c}$

$\large\textsf{Hallamos un par de enteros cuyo producto sea c y su suma sea b }$

$\large\textsf{Donde el producto es -27 y la suma es -6 }$

Los números enteros son:

$\boxed{ \bold{ -9 , \ 3 }}$

$\large\textsf{Escribimos en forma factorizada empleando esos n\'umeros enteros }$

$\boxed{ \bold{(x -9 ) (x+3) = 0 }}$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a  0 , la expresión completa será igual a  0

Luego

$\boxed{ \bold{x -9 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = 9 }}$

$\boxed{ \bold{x + 3 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = -3 }}$

La solución completa son los valores que hacen  a (x-9)(x+3) = 0 verdadero

$\large\boxed{ \bold{x = 9, - 3 }}$

b) Empleando la fórmula cuadrática

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b =-6 y c = -27 }$

$\large\textsf{Para resolver para x }$    

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 6 \pm \sqrt{ (-6)^2 - 4\ . \ (1 \ . \ -27) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 6 \pm \sqrt{ 36 - \ 4\ . \ -27 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 6 \pm \sqrt{ 36 +108 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 6 \pm \sqrt{ 144 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 6 \pm \sqrt{ 12^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 6 \pm12 }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = 3 \pm6 }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\large\boxed{ \bold{x = 9, - 3 }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de x dado que es una medida de longitud }$

$\large\boxed{ \bold{x = 9 }}$

Nota: Se ha hallado el valor de la variable x por 2 métodos, en donde no es necesario que se resuelva el problema desarrollando ambos. Se han desarrollado los dos para que ustedes empleen cualquiera de ellos, o con el que se sientan más familiarizados :)

Luego

$\large\textsf{Cateto 1 = x }$

$\large\textsf{Cateto 1 = 9 unidades }$

$\large\textsf{Cateto 2 = (x + 3) }$

$\large\textsf{Cateto 2 = (9 + 3) = 12 unidades}$

$\large\textsf{Hipotenusa = (x + 6) }$

$\large\textsf{Hipotenusa = (9 + 6) = 15 unidades }$  

Hallando el área del triángulo

La fórmula general para hallar el área de un triángulo es el producto de la base por la altura dividido entre dos

$\boxed{ \bold{\'Area \ Tri\'angulo = \frac{ Base \ . \ Altura }{2 } }}$

En un triángulo rectángulo, al tener un ángulo recto, la altura coincide con uno de sus lados. Siendo su área la mitad del producto de los dos lados que forman el ángulo recto, es decir los dos catetos.

Reemplazamos el valor que hallamos para los catetos

$\boxed{ \bold{\'Area \ Tri\'angulo = \frac{ 12 \ u \ . \ 9 \ u }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{\'Area \ Tri\'angulo = \frac{ 108 \ u^{2} }{2 } }}$

$\large\boxed{ \bold{\'Area \ Tri\'angulo = 54 \ u^{2} }}$