Question

Determinar la función lineal cuya gráfica pasa por los puntos (-1, 6) y (1; 2). Halla dominio, rango y graficar

Answer 1

La función está dada por:

$\large\boxed {\bold { y = -2 x + 4 }}$

El dominio y el rango son todos los números reales

Solución

Una función lineal se define por la forma:

f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada esta ecuación canónica

Donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y

Sabiendo que las funciones lineales son constantes

 

$\large\textsf{Escribimos en la forma de la ecuaci\'on general de la recta } { \ }$

$\large\textsf{Dados los pares ordenados } \large\bold { A(1-,6) \ y\ B(1,2) }}\ \ }$

$\large\textsf{Hallamos la pendiente de la recta } \ }}\ \ }$

La pendiente de una recta se representa mediante la letra “m”

La pendiente es igual al cambio en y respecto al cambio en x

$\boxed{\bold {m = \frac{ cambio \ en \ y }{ cambio \ en \ x } }}$

El cambio en x es igual a la resta en la coordenada X (también llamada avance), y el cambio en y es igual a la resta en la coordenada Y (también llamada elevación).

$\boxed{\bold {m = \frac{ elevaci\'on }{ avance } }}$

La pendiente está dada por el cociente entre la elevación y el avance

Siendo la pendiente constante en toda su extensión

Si contamos con 2 puntos que conforman la recta, podemos obtener la pendiente del segmento de recta

La pendiente está dada por:

$\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados

$\boxed{\bold { A \ (-1,6) \ \ \ B\ ( 1, 2)} }$

Hallamos la pendiente

$\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

Reemplazamos

$\boxed{\bold {m = \frac{ 2 - (6) }{ 1 - (-1 ) } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 2 - 6 }{ 1 +1 } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ - 4 }{ 2 } }}$

$\boxed{\bold {m =- \frac{ 4 }{ 2 } }}$

$\large\boxed{\bold {m = -2 }}$

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { -2 } }}\\\large\textsf{y un par ordenado dado } \bold { (-1,6) } }}$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y y_{1} }}\\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }}$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$  

$\boxed {\bold { y - (6)= -2 \ (x - (-1) )}}$

$\boxed {\bold { y - 6= -2 \ (x + 1 )}}$

$\boxed {\bold { y - 6= -2 x - 2}}$

$\boxed {\bold { y = -2 x - 2 +6 }}$

$\large\boxed {\bold { y = -2 x +4 }}$

Dominio y rango

El dominio de una función son todos los valores reales que la variable X  puede tomar para obtener una salida con sentido

El rango de una función es el conjunto formado por las imágenes.  Siendo los valores que toma la función Y -variable dependiente-, por eso se denomina “f(x)”dado que su valor depende del valor que le demos a X

En el ejercicio planteado

Se trata de una función lineal que representa a un polinomio de grado 1

Dominio

Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números reales Es decir puede tomar cualquier valor negativo o positivo sin restricción alguna. En este caso, no hay números reales que hagan que la expresión esté indefinida.

$\large\boxed {\bold { Dominio = (-\infty , \infty) }}$

Rango

El rango será también todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje “Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre.

$\large\boxed {\bold { Rango = (-\infty , \infty) }}$

El dominio y el rango son todos los números reales