Question

Si "a" y "b" son las dimensiones de un terreno rectangular en metros, calcular el perímetro de dicho terreno si: LaTeX: a^2+b^2=169 y
ab=60.

Answer 1

El perímetro del terreno rectangular es de 34 metros

Solución

Se desea hallar el perímetro de un terreno rectangular cuyas dimensiones están dadas por:

El sistema de ecuaciones

$\large\boxed {\bold {a^{2} \ +\ b^{2} = 169 }}}$           $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\large\boxed {\bold {a \ . \ b = 60 }}}$                     $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Luego

$\large\boxed {\bold {a =\frac{60}{b} }}}$                           $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\boxed {\bold {a =\frac{60}{b} }}}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold {\left(\frac{60}{b}\right) ^{2} +\ b^{2} = 169 }}}$

$\boxed {\bold {\frac{3600}{b^{2} } +\ b^{2} = 169 }}}$

$\boxed {\bold {\frac{3600}{b^{2} } +\ b^{2} - 169 = 0 }}}$

Multiplicamos cada término por b² para quitar el denominador

$\boxed {\bold {\frac{3600}{b^{2} } \ . \ b^{2} +\ b^{2}\ . \ b^{2} - 169 \ . \ b^{2} = 0 }}}$

$\boxed {\bold {3600 +\ b^{4} - 169b^{2} = 0 }}}$

$\large\boxed {\bold { b^{4} - 169b^{2} + 3600 = 0 }}}$

Desarrollamos una expresión cuadrática de preincógnita

$\large\textsf{Reemplazando }$

$\large\boxed{ \bold{ w = b^{2} }}$  

$\large\textsf{En la ecuaci\'on }$

$\large\boxed {\bold { b^{4} - 169b^{2} + 3600 = 0 }}}$

$\large\boxed {\bold { w^{2} - 169w + 3600 = 0 }}}$

Resolvemos por factorización

$\large\textsf{Considerando la forma: } \bold {ax^{2} + bx + c}$

$\large\textsf{Hallamos un par de enteros cuyo producto sea c y su suma sea b }$

$\large\textsf{Donde el producto es 3600 y la suma es -169 }$

Los números enteros son:

$\boxed{ \bold{ -144 , \ -25 }}$

$\large\textsf{Escribimos en forma factorizada empleando esos n\'umeros enteros }$

$\boxed{ \bold{(w -144 ) (w-25) = 0 }}$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a  0 , la expresión completa será igual a  0

Luego

$\boxed{ \bold{w -144 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{w = 144 }}$

$\boxed{ \bold{w - 25 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{w = 25 }}$

La solución completa son los valores que hacen  a (w-144)(w-25) = 0 verdadero

$\large\boxed{ \bold{w = 144\ , \ 25 }}$

Hallamos las incógnitas "a" y "b"

$\large\textsf{Reemplazando el valor real de : }$

$\large\boxed{ \bold{ w = b^{2} }}$

En

$\boxed{ \bold{b^{2} = 144 }}$

$\boxed{ \bold{b^{2} = 25 }}$

Resolvemos para b

$\boxed{ \bold{b = \pm \sqrt{144} }}$

$\boxed{ \bold{b = \pm \sqrt{25}}}$

$\large\boxed{ \bold{b = 12\ , \ -12 \ \ \ \ 5 \ , \ -5 }}$

Resolvemos para a

$\large\textsf{En la ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {a =\frac{60}{b} }}}$

$\large\textsf{Reemplazamos los valores hallados de a }$

Para b = 12

$\boxed {\bold {a =\frac{60}{12} }}}$

$\boxed {\bold {a =5 }}}$

Para b = -12

$\boxed {\bold {a =-5 }}}$

Para b = 5

$\boxed {\bold {a =\frac{60}{5} }}}$

$\boxed {\bold {a =12 }}}$

Para b = -5

$\boxed {\bold {a =-12 }}}$

$\large\boxed{ \bold{b = 5\ , \ -5 \ \ \ \ 12 \ , \ -12 }}$

Descartamos todas las soluciones negativas dado que se trata de una medida de longitud

Obteniendo    

$\large\boxed{ \bold{b = 12\ , \ 5 }}$

$\large\boxed{ \bold{a = 5\ , \ 12 }}$

Siendo todas las soluciones válidas

Como se trata de un rectángulo tomamos b= 12 para el largo y a = 5 para el ancho

$\large\textsf{Largo = 12 metros }$

$\large\textsf{Ancho = 5 metros }$

Sin olvidar que la multiplicación es conmutativa, por tanto se arribaría al mismo resultado

Con las magnitudes halladas determinaremos el perímetro del terreno

El perímetro de un rectángulo es la suma de sus cuatro lados. Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su perímetro será el doble de la suma de dos lados contiguos

Pudiendo decir

$\boxed{\bold { Per\'imetro \ Rect\'angulo = 2 (Largo \ + \ Ancho }}$

Reemplazamos por los valores hallados

$\boxed{\bold { Per\'imetro \ Rect\'angulo = 2 (12 \ m \ + \ 5 \ m ) }}$

$\boxed{\bold { Per\'imetro \ Rect\'angulo = 2 (17\ m ) }}$

$\large\boxed{\bold { Per\'imetro \ Rect\'angulo = 34 \ metros }}$

Verificación

Reemplazamos los valores hallados en las ecuaciones dadas por enunciado

$\large\boxed {\bold {a^{2} \ +\ b^{2} = 169 }}}$

$\boxed {\bold {5^{2} \ +\ 12^{2} = 169 }}}$

$\boxed {\bold {25 \ +\ 144 = 169 }}}$

$\boxed {\bold {169 = 169 }}}$

Se cumple la igualdad

$\large\boxed {\bold {a \ . \ b = 60 }}}$

$\boxed {\bold {5 \ . \ 12 = 60 }}}$

$\boxed {\bold {60 = 60 }}}$

Se cumple la igualdad