A las 5 de la madrugada una paloma está ubicada a 2000Km al oeste de un águila, la
paloma vuela hacia el este a 80 Km/h y el águila vuela hacia el sur a 320 Km/h.,
ambas en línea recta ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre ellas pasadas 2 horas
del meridiano?
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Respuestas
Aproximadamente la distancia entre las aves pasadas 2 horas del meridiano cambia con una rapidez de 199 Km/h.
Explicación paso a paso:
Del planteamiento se entiende que las aves se encuentran sobre una recta horizontal separadas por una distancia de 2000 Km a las 5 am. Se ponen en movimiento, la paloma en linea recta horizontal hacia el punto donde inicialmente se encontraba el águila y esta última en línea recta vertical alejándose de su punto inicial.
Llamemos x a la distancia horizontal que separa la paloma del punto inicial del águila, y a la distancia vertical que separa el águila de su punto inicial, y z a la distancia en línea recta entre las dos aves.
Las distancias x y z forman un triángulo rectángulo, son variables y lo hacen en función del tiempo; además las podemos relacionar por medio del teorema de Pitágoras:
(Hipotenusa)² = (Cateto Opuesto)² + (Cateto Adyacente)²
En el caso que nos ocupa:
(z)² = (x)² + (y)²
La incógnita del problema es la variación en el tiempo de la distancia z a las 2 pm. Para calcularla, necesitamos conocer los valores de las distancias x y z a las 2 pm, es decir, 9 horas después de la condición inicial. Esto lo vamos a conocer con las velocidades y el teorema de Pitágoras:
x (9h) = 2000 Km - [(9h)*(80 Km/h)] = 2000 Km - 720 Km = 1280 Km
y (9h) = (9h)*(320 Km/h) = 2880 Km
[z (9h)]² = (1280)² + (2880)² = 9932800 Km²
z (9h) = √9932800 Km
Ahora bien, la variación en el tiempo no es más que la derivada implícita con respecto al tiempo:
d[(z)²]/dt = d[(x)²]/dt + d[(y)²]/dt ⇒ 2z dz/dt = 2x dx/dt + 2y dy/dt ⇒
dz/dt = (x dx/dt + y dy/dt) / (z)
Vamos a calcular el valor de dz/dt para las condiciones dadas:
dz/dt = [(1280)(-80) + (2880)(320)] / [√9932800] ≅ 199 Km/h
Aproximadamente la distancia entre las aves pasadas 2 horas del meridiano cambia con una rapidez de 199 Km/h.