Question

determine la ecuacion de la recta tangente y la recta normal a la grafica de función f=x^(3)−4 en el punto (2,4). realiza la representación grafica de la función y de las rectas tangente y normal

Answer 1

Respuesta:

Recta tangente:

$y=12x-20$

Recta normal:

$y=-\frac{1}{12} +\frac{25}{6}$

Representación de la función y de las rectas tangente y normal en la imagen adjunta.

Explicación paso a paso:

sea la función:

$f(x)=x^3-4$

vamos a calcular la recta tangente que cruza por el punto (2,4):

para ello debemos derivar la función dada y evaluarla en el punto x=2:

la derivada de la función es:

$f'(x)=3x^2$

como la recta debe pasar por el punto 2, la evaluamos para dicho valor:

$=3(2)^2\\=3*4\\=12$

por tanto, la recta en el punto x=2 tiene una pendiente con valor

$m=12$

ahora, como la recta pasa por el punto (2,4) la calcularemos así:

la ecuación de la recta es:

$y=mx+b$

reemplazando el valor de m nos queda:

$y=12x+b$

ahora para saber el valor de b, reemplazaremos "x" y "y" dados por el punto dado(2,4)

$y=12x+b\\4=12*(2)+b$

despejando "b" nos queda:

$b=4-24\\b=-20$

reemplazando este valor en la ecuación nos queda:

$y=12x-20$

esta es la ecuación de la recta tangente en el punto (2,4)

Para calcular la recta normal:

$m_1*m_2=-1$

m1=pendiente tangente

m2=recta normal

asi que despejamos m2 quedando:

$m_2=\frac{1}{m_1}$

reemplazando el valor nos queda:

$m_2=-\frac{1}{12}$

así que la ecuación de la recta normal es:

$y=-\frac{1}{12}x+b$

calculamos b usando nuevamente el punto dado (2,4) y queda

$b=\frac{25}{6}$

la recta normal es entonces:

$y=-\frac{1}{12} +\frac{25}{6}$