Question

como resolver integrales? necesito resolver 5 ejercicios, uno de ellos es Integrar                   ∫ x^{2} ln xdx

Answer 1

Intenta con los métodos de integración. Mi intuición (que se construyó a punta de práctica) me dice que debemos aplicar la integración por partes.

                      $\displaystyle I=\int x^2\ln x\; dx$

será conveniente hacer lo siguiente

       $u=\ln x\\ \\ du = (\ln x)' \, dx\\ \\ du = \dfrac{1}{x}\, dx$

y luego
                $dv = x^2 dx\\ \\ \displaystyle v=\int x^2\, dx\\ \\ v=\dfrac{x^3}{3}$

entonces recordemos...$\boxed{\int u \,dv=uv-\int v\,du}$

así tenemos

               $\displaystyle I=\dfrac{x^3}{3}\cdot \ln x-\int \dfrac{x^3}{3}\cdot \dfrac{1}{x}\, dx\\ \\ I=\dfrac{x^3}{3}\cdot \ln x-\int \dfrac{x^2}{3}\, dx\\ \\ I=\dfrac{x^3}{3}\cdot \ln x-\dfrac{1}{3}\int x^2\, dx\\ \\ I=\dfrac{x^3}{3}\cdot \ln x-\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{x^3}{3}+C\\ \\ \\ \boxed{I=\dfrac{x^3}{3}\cdot \ln x-\dfrac{x^3}{9}+C}$