Question

2. Dada la ecuación 5x2 + 4y2 - 13 = 0, reconoce el lugar geométrico que representa y determina sus elementos característicos. Graficalo.

Answer 1

El lugar geométrico que representa la ecuación dada es una elipse horizontal con centro en el origen

La ecuación:

$\large\boxed {\bold { 5 x^{2} + 4 y^{2} - \ 13 = 0 }}$

Corresponde a una elipse

Elipse

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

Por lo tanto la distancia desde cualesquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos denominados focos (F y F') es siempre la misma.

Elementos de la elipse

Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es también centro de simetría

Focos: Son los puntos fijos F y F'  

Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría    

Eje secundario: El eje perpendicular al eje principal, siendo la mediatríz del segmento que une los focos (F F')

Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes

Radios vectores: Cada punto de la elipse tiene dos radio vectores. Siendo los puntos que van desde un punto de esta a los focos

Distancia focal: Es la distancia entre los focos. Su longitud es 2·c

Semidistancia focal: Es la distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c

Eje mayor o principal: Es el segmento cuya longitud es 2a

Semieje mayor o principal: Es el segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a

Eje menor o secundario: Es el segmento cuya longitud es 2b

Semieje menor o secundario: Es el segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b    

 

Solución

Reescribimos la ecuación:

$\large\boxed {\bold { 5 x^{2} + 4 y^{2} - \ 13 = 0 }}$

En la forma de la ecuación general de la elipse

$\large\boxed{ \bold{ \frac{(x - x_{0})^{2} }{a^{2} } + \frac{(y - y_{0})^{2} }{b^{2} } = 1 }}$

Donde

$\bold{ x_{0}, y_{0}} \ \ \ \large\textsf{Coordenadas x e y del centro de la elipse }$

$\bold{ a} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Semieje de abscisas }$

$\bold{ b} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Semieje de ordenadas }$

Para este caso el centro de la elipse se encuentra en el origen

$\boxed { \bold{ C(0, 0) \ \ \ \ \ \ \to x_{0}= 0 \ , \ y_{0}= 0 } }}$

La forma estándar de una elipse requiere igualar el lado derecho de la ecuación a  1

Obteniendo

$\boxed{ \bold{ \frac{(x -0)^{2} }{\left(\sqrt{ \frac{13}{5} }\right)^{2} } + \frac{(y - 0)^{2} }{\left(\sqrt{ \frac{13}{2^{2} } }\right)^{2} } = 1 }}$

$\boxed{ \bold{ \frac{x ^{2} }{\left(\sqrt{ \frac{13}{5} }\right)^{2} } + \frac{y ^{2} }{\left( \frac{\sqrt{13} }{2 } }\right)^{2} } = \bold{1 } }}$

Simplificando

$\large\boxed{ \bold{ \frac {x ^{2} }{ \frac{13}{5} } + \frac{y^{2} }{\frac{13}{2} } } = 1 }}$

Se observa que b > a

Siendo b el semieje mayor

$\boxed{\bold {b = \frac{\sqrt{13} }{2 }} }$

Siendo a el semieje menor

$\boxed{\bold {a = \sqrt{ \frac{13}{5} } } }$

Luego se trata de una elipse cuyo eje mayor es paralelo al eje Y (eje de ordenadas)

Por lo tanto se tiene una elipse horizontal centrada en el origen

FOCOS

Para una elipse con eje mayor paralelo al eje Y, los focos se definen como:

$\large\boxed { \bold{ (h, k \ + c) \ \ ,\ \ \ (h, k \ - c) } }}$

Donde c  es la distancia desde el centro (h,k) =(0,0) a un foco

Hallamos la distancia focal c

La cual está dada por

$\large\boxed {\bold { c = \sqrt{ b^{2} \ - \ a^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c =\sqrt{ \sqr\left({ \frac{\sqrt{13} }{2 }\right)^{2} \ - \left( \sqrt{ \frac{13}{5} }\right)^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{ \sqr{ \frac{\sqrt{13} }{2^{2} }^{2} - {\left( \frac{\sqrt{13} }{\sqrt5 } }\right)^{2} } } } }}}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{ \frac{13}{4} - {\left( \frac{\sqrt{13} }{\sqrt5 } \ . \ \frac{\sqrt{5} }{\sqrt5 }\right)^{2} } } } }}}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{ \frac{13}{4} - {\left( \frac{\sqrt{65} }{5 } \right)^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{ \frac{13}{4} - \frac{65}{5} } } }}}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{ \frac{13}{4} - \frac{13}{5} } } }}}$

$\boxed {\bold { c = \sqrt{ \frac{13}{20} } } }}}$

$\large\boxed {\bold { c ={ \frac{\sqrt{13} }{2\sqrt{5} } } }}}$

Reemplazando

$\large\boxed { \bold{ (h, k \ + c) \ \ ,\ \ \ (h, k \ - c) } }}$

$\large\boxed { \bold{F_{1} \left(0, 0 \ + \frac{\sqrt{13} }{2\sqrt{5}\right) } } }}$          $\large\boxed { \bold{F_{2} \left(0, 0 \ - \frac{\sqrt{13} }{2\sqrt{5}\right) } } }}$

VÉRTICES

Para una elipse con el eje mayor paralelo al eje Y, los vértices están dados por:

$\large\boxed { \bold{ (h, k \ + b) \ \ ,\ \ \ (h, k \ - b) } }}$

Reemplazando

$\large\boxed { \bold{V_{1} \left(0, 0 \ + \frac{\sqrt{13} }{2}\right) } } }}$          $\large\boxed { \bold{V_{2} \left(0, 0 \ - \frac{\sqrt{13} }{2}\right) } } }}$