Question

calcula de la derivada de y= arctan(5x)

Answer 1

Hola..!! , Veamos

           Derivada de una Función Inversa

Cuando hablamos de la derivada de una función esta debe ser continua en su dominio y debe existir un único limite (Unicidad de limite).

La derivada tiene interpretaciones diferentes cuya interpretación va a variar en el campo que se trabaje por ejemplo en hablando netamente en matemática representa la recta tangente , en economía suele usarse para optimizar costos  y así en diversos campos de investigación.

$\mathbb{EJEMPLO:}$

                                              $y=arctan(5x)$

la idea es encontrar  $\frac{d}{dx} y$ sin embargo por la definición formal de la derivada suele complicarse la  demostración mayor mente se recurre a la definición formal cuando sea sencillo de trabajar por ejemplo  en los polinomios

entonces para la demostración en este caso se le suele cambiar la variable e indirectamente nos dará la derivada de la función.

     Paso 1

• Tomamos la tangente en ambos lados

        $tan(y)=tan(arctan(5x))$

     Paso 2

      $\mathrm{Recordar \ que:} \ tan(arctan(a))=a$

• $tan(y)=5x$

     Paso 3

• Tomamos la derivada a la expresión del paso 2

           $\cfrac{d}{dx} tan(y)=5\cfrac{d}{dx} x$

        $sec^{2}(y) \cfrac{d}{dx} y=5(1)$

                    $\cfrac{d}{dx} y=\cfrac{5}{sec^{2} (y)}$

      Paso 4

• Del paso 2 elevando al cuadrado ¿porque? para aprovechar la identidad pitagórica

                    $tan^2(y)=25x^{2} \\ \\ sec^{2}(y)-1=25x^{2} \\ \\ sec^{2} (y)=1+25x^{2}$

      Paso 5

• Remplazamos  en la ecuación del paso 4 en la ecuación del  paso 3

                          $\cfrac{d}{dx} y=\cfrac{5}{1+25x^{2} }$

Un cordial saludo.