Question

Lo es una de las sesenta y tres lunas de Júpiter (la más próxima al planeta) y tiene un periodo orbital de 1 día 18 h y 28 min. ¿Cuál es la distancia media entre Ío y Júpiter?

Answer 1

La distancia media entre Ío y Júpiter es de 44000 kilómetros

Solución

Sabemos que un planeta describe una órbita elíptica alrededor del Sol, donde el Sol se ubica en uno de los focos de la elipse

Luego

Por la Tercera Ley de Kepler

Para cualquier planeta

El cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de su radio medio (o semieje mayor de la elipse) con el Sol

Siendo:

$\large\boxed{ \bold{ T^{2} = k \ . \ r^{2} }}$

Donde

$\bold{ T} \ \ \ \large\textsf{Per\'iodo del planeta alrededor del Sol}$

$\bold{ r} \ \ \ \ \large\textsf{Radio medio = a = semieje mayor de la elipse }$

$\bold{ k} \ \ \ \large\textsf{Constante de proporcionalidad que depende de la masa del Sol}$

Siendo esta

$\large\boxed {\bold {k = 3 \ . \ 10^{-19} \ \frac{ s^{2} }{ m ^{3} } }}$

En el caso del problema planteado la luna de Júpiter Ío no orbita alrededor del Sol, sino del planeta Júpiter

Por lo tanto debemos determinar el valor de k para este caso, reemplazando la masa del planeta Júpiter en la expresión que nos da la constante de Kepler

$\large\boxed{ \bold{ k= \frac{4\ \pi^{2} }{ G \ . \ M } }}$

Donde

$\bold{ G}\ \ \ \large\textsf{Constante de gravitaci\'on universal }$

$\bold{ M}\ \ \ \large\textsf{Masa del planeta J\'upiter }$  

Donde

$\large\boxed {\bold {G = 6,67 \ . \ 10^{-11} \ \frac{ m ^{3} }{ kg \ s^{2} } }}$

La masa del planeta Júpiter es de:

$\large\boxed {\bold {M = 1,90 \ . \ 10^{27} \ \ kg }}$

Hallamos la constante k

$\large\boxed{ \bold{ k= \frac{4\ \pi^{2} }{ G \ . \ M } }}$

$\boxed{ \bold{ k= \frac{4\ \pi^{2} }{ 6,67 \ . 10^{-11} \ \frac{ m ^{3} }{ kg \ s^{2} } \ . \ 1,90 \ . \ 10^{27} \ \ kg } }}$

$\boxed {\bold { k = 3,11515959 \ . \ 10^{-16} \ \frac{s^{2} }{m^{3} } } }}$

$\large\boxed {\bold { k = 3,12 \ . \ 10^{-16} \ \frac{s^{2} }{m^{3} } } }}$

Hallamos la distancia media entre Ío y Júpiter

Convertimos el período orbital de la luna de Júpiter Ío a segundos

Sabiendo que es de 1 día, 18 horas y 28 minutos

En un día se tienen 86400 segundos

Como una hora tiene 3600 segundos

En 18 horas se tienen 64800 segundos

Como en un minuto se tienen 60 segundos

En 28 minutos se tienen 1680 segundos

Teniendo en total:

$\large\boxed {\bold { 86400 \ s + 64800 \ s + 1680 \ s = 152880 \ s }}$

De

$\large\boxed{ \bold{ T^{2} = k \ . \ r^{2} }}$

Despejamos r

$\large\boxed{\bold { r= \bold{ \sqrt[3]{ \frac{T^{2} }{k} }} } }$

$\large\boxed{\bold { r= \bold{ \sqrt[3]{ \frac{(1,53 \ . \ 10^{5})^{2} \ s ^{2} \ }{3,12 \ . \ 10^{-16} \ \frac{s^{2} }{m^{3} } } }} } }$

$\textsf{Quitamos unidades }$

$\boxed{\bold { r= \bold{ \sqrt[3]{ \frac{1,53^{2} \ . \ (10^{5})^{2} }{3,12 \ . \ 10^{-16} } }} } }$

$\boxed{\bold { r= \bold{ \sqrt[3]{ \frac{1,53^{2} \ . \ (10)^{10} }{3,12 \ . \ 10^{-16} } }} } }$

$\boxed{\bold { r= \bold{ \sqrt[3]{ \frac{2,3409 \ . \ (10)^{10} }{3,12 \ . \ 10^{-16} } }} } }$

$\boxed{\bold { r= \bold{ \sqrt[3]{ \frac{2,3409 \ . \ 10^{10} \ . \ 10^{16} }{3,12 } }} } }$

$\boxed{\bold { r= \bold{ \sqrt[3]{ \frac{2,3409 \ . \ 10^{26} }{3,12 } }} } }$

$\boxed{\bold { r=421770391,917 \ metros } }} } }$

$\large\boxed{\bold { r=4,22 \ \ 10^{8} \ metros } }} } }$

Convertimos los metros a kilómetros

$\large\boxed{\bold { r=4,22 \ \ 10^{5} \ km } }} } }$

$\large\boxed{\bold { r=422000 \ km } }} } }$