Question

Hallar la ecuación general de la parábola que tiene foco el punto de coordenadas (-3,-2) y directriz la recta con ecuación x=1.
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Answer 1

La ecuación de la parábola en la forma general está dada por:

$\large\boxed{ \bold { y^{2} + 4y +8x +12 = 0 }}$

Solución

Hallando la ecuación ordinaria de la parábola

Dado que la directriz es una recta vertical que pasa por x = 1 empleamos la ecuación de una parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha

$\large\boxed{ \bold { (y-k)^2= 4p\ (x-h) }}$  

Hallamos el vértice

El vértice (h,k) está a media distancia entre la directriz y el foco

Luego hallamos la coordenada x del vértice por medio de la fórmula:

$\boxed {\bold { x_{V} = \frac{ coordenada \ x \ del \ Foco + Directriz }{2} }}$

La coordenada y del vértice será la misma que la coordenada y del foco

$\boxed {\bold {V\'ertice = \left( \frac{-3 + 1 }{2} \ , \ -2\right) }}$

$\boxed {\bold {V\'ertice = \left( \frac{-2 }{2} \ , \ -2\right) }}$

$\boxed {\bold {V\'ertice = \left( - \frac{2 }{2} \ , \ -2\right) }}$

$\large\boxed {\bold {V\'ertice = \left( -1\ , \ -2\right) }}$

Hallamos la distancia desde el foco hasta el vértice

La distancia desde el foco al vértice y desde el vértice a la directriz es p

Restamos la coordenada x del vértice de la coordenada x del foco para hallar p

$\boxed {\bold { p = -3 - (-1) }}$

$\boxed {\bold { p = -3+1 }}$

$\boxed {\bold { p = -2 }}$

Reemplazamos los valores conocidos en la forma: .

$\boxed{ \bold { (y-k)^2= 4p\ (x-h) }}$

$\boxed{ \bold { (y-(-2) )^2= 4 \ . \ (-2)\ (x- (-1)) }}$

$\large\boxed{ \bold { ( y+2)^2= -8\ (x+1) }}$  

Hallamos la ecuación de la parábola en la forma general

La forma general de la ecuación de una parábola que abre a la izquierda o a la derecha, también llamada parábola horizontal esta dada por:

$\large\boxed {\bold {A y^{2}+ By+ Cx+ D = 0 }}$

Donde la ecuación general de una parábola se obtiene a partir de su ecuación en la forma ordinaria o canónica, desarrollando el binomio  y simplificando la expresión

$\large\boxed{ \bold { ( y+2)^2= -8\ (x+1) }}$

$\boxed{ \bold { ( y+2) \ (y+2)= -8\ (x+1) }}$

$\boxed{ \bold { y^{2} + 2y + 2y +4 = -8\ (x+1) }}$

$\boxed{ \bold { y^{2} + 4y +4 = -8\ (x+1) }}$

$\boxed{ \bold { y^{2} + 4y +4 = -8x -8 }}$

$\boxed{ \bold { y^{2} + 4y +4 +8x +8 = 0 }}$

$\large\boxed{ \bold { y^{2} + 4y +8x +12 = 0 }}$