Question

Si (a-b)=8 y ab=3. ¿Cuál es el valor de a al cuadrado más b al cuadrado espacio

Answer 1

Respuesta:

$a^{2} +b^{2} =70$

Explicación paso a paso:

$(a-b)=8\\ab=3$  Nos dan esas dos ecuaciones, con dos incógnitas cada una.

Lo mas indicado en este tipo de casos es realizar el sistema de ecuaciones, en este caso lo realizare por el método de sustitución (ya que es el mas conveniente).

tenemos que la primera ecuación es:

a - b = 8   Despejamos a

a  = 8 + b

Sustituimos el valor de a en la ecuación 2

ab = 3

(8 + b)b = 3 Realizamos la distributiva.

$8b + b^{2}=3$

$8b + b^{2} - 3=0\\b^{2}+8b -3 =0$ Nos queda una ecuación de segundo grado de la forma:

$Ax^{2} +Bx+C=0$ Donde A, B y C son números.

Nota que coloque las letras A B y C en mayúsculas, para evitar confusiones entre la B(numero) y b(la incógnita que buscamos), ya que no son lo mismo.

En este caso:

A = 1

B = 8

C = - 3

Para este caso utilizamos la formula de la resolvente:

$x=\frac{-B\pm \sqrt{B^{2}-4AC} }{2A}$  (Usaremos x para evitar confusión con la formula)

Sustituimos los valores:

$x=\frac{-8\pm \sqrt{8^{2}-4(1)(-3)} }{2(1)}\\x=\frac{-8\pm \sqrt{64+12} }{2}\\x=\frac{-8\pm \sqrt{76} }{2}\\x=\frac{-8\pm \sqrt{19(4)} }{2}$En este ultimo paso hice la descomposición en factores primos del numero 76 para poder simplificar la raíz y por consecuencia, el resultado entero.

$x=\frac{-8\pm 2\sqrt{19} }{2}$ Como 19 y 4 se multiplicaban, puedo sacar la raíz de 4 tranquilamente (si se están sumando  no se puede hacer este procedimiento, es decir si se encuentran como: 19 + 4)

$x={-4\pm \sqrt{19} }$ Simplificamos y nos queda esta expresión

Entonces tenemos dos soluciones:

$x_{1} = -4+\sqrt{19} \\x_{2} = -4-\sqrt{19}$  Soluciones para la variable b.

Debemos sustituir ambas soluciones en la ecuación 1:

Para la primera solución:

$a - (-4+\sqrt{19} )=8\\a+4-\sqrt{19} =8\\a=8-4+\sqrt{19}\\a_{1}=4+\sqrt{19}$

Para la segunda solución:

$a - (-4-\sqrt{19} )=8\\a +4+\sqrt{19} =8\\a =8- 4-\sqrt{19}\\a_{2}=4-\sqrt{19}$

Entonces, nos piden que calculemos:   $a^{2} +b^{2}$

Debemos calcularlo para cada par de solución.

Entonces:

Para a1 y b1:

$a_{1}=4+\sqrt{19} \\b_{1}=-4+\sqrt{19}\\\\(4+\sqrt{19})^{2}+(-4+\sqrt{19})^{2}=\\\\(4^{2} +2(4)(\sqrt{19})+(\sqrt{19})^{2})+(4^{2} -2(4)(\sqrt{19})+(\sqrt{19})^{2})=\\\\(16+8\sqrt{19}+19)+(16-8\sqrt{19}+19)=\\\\\\35+8\sqrt{19}+35-8\sqrt{19}=70$

Para a2 y b2:

$a_{2}=4-\sqrt{19} \\b_{2}=-4-\sqrt{19}\\\\(4-\sqrt{19})^{2}+(-4-\sqrt{19})^{2}=\\\\(4^{2} -2(4)(\sqrt{19})+(\sqrt{19})^{2})+((-4)^{2} +2(-4)(-\sqrt{19})+(-\sqrt{19})^{2})=\\\\(16-8\sqrt{19}+19)+(16+8\sqrt{19}+19)=\\\\\\35-8\sqrt{19}+35+8\sqrt{19}=70$

Como ambos resultados son el mismo entonces decimos que:

$a^{2} +b^{2} =70$